《新第4讲-建模过程与几何相似性建模(讲义版)概况》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新第4讲-建模过程与几何相似性建模(讲义版)概况（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1讲 建模过程与几何相似性建模1、数学模型1.1 数学建模的一般过程为了解数学建模的过程，考虑图1所示的两个世界。假设我们要了解现实世界中的某些行为和现象，以便对该行为的未来作出预测并分析各种情境对该行为的影响。现实世界 数学世界模型数学运算及法则数学结论系统观察到的行为或现象 图1 现实世界与数学世界例如，当研究两个相互作用的物种的种群量时，我们需要知道在它们的环境中物种能否共存，或者是一个物种最终占支配地位而迫使另一个物种灭绝；在用药管理中，要知道正确的剂量以及保持在血液中药物的安全与有效水平的剂量之间的时间。怎样构建数学世界中的数学模型并利用数学模型帮助我们更好地了解现实世界中的系统呢
2、？在讨论怎样把两个世界联系起来之前，先考虑什么是现实世界中的系统以及我们为什么对构建系统的数学模型感兴趣。一个系统就是由一些有规律的相互作用或内在的依赖关系联结在一起的对象的集合体。建模者希望了解一个特定的系统是怎样工作的，是什么造成了系统的变化以及系统对某些变化有多敏感。建模者还希望预测系统会发生什么样的变化以及何时发生变化。怎样获取这些信息呢？例如，假定目标是要从现实世界所观察到的现象中得出结论。一种方法就是对某些实际行为做试验或实验，然后观察它们对实际行为的影响。如图2所示。实际问题的数据实际行为模型模型 观察 简化 简化 试验 分析 验证 分析实际的预测或解释现实世界的结论数学的结论数
3、学的结论 解释 解释 阐明 图2 获取有关系统的行为结论 图3 作为封闭系统的建模过程尽管这种过程可能降低由不那么直接的方法所引起的保真性的丧式，但是某些情况下我们不希望遵循这种过程。例如，在诸如决定药物的致命溶度水平或者研究核电厂故障对附近人口密集地区的辐射影响时，即使是单个试验的成本也可能高得令人不敢问津。或者，研究有人操纵的宇宙飞船的热屏蔽不同设计的时，我们甚至可能不愿意接受单次试验的失败。此外，在研究电离层组成的特殊的变化及其对极地冰帽相应的影响时，甚至不可能做实验。对图2的考察提示获取有关现实世界的结论的另一种方法，首先对所研究的行为做特定的观察并识别看来是有关联的因素。通常不可能考
4、虑，或者甚至是识别行为所有有关联的因素，所以做出消去某些因素的假设。例如，当研究来自核电厂故障造成的辐射影响时，至少开始时可以选择忽略湿度。其次，猜测所选择的因素之间的一些暂时的关系，从而创建一个有关该行为的粗略的模型。有了所建立的模型，应用适当的数学分析来导出有关该模型的结论。注意这些结论只属于该模型，而不属于所研究的真正的实际系统。考虑到在构建模型时做了某些简化以及基于该模型的观察误差和局限总是会有的，因此，在做出有关实际行为的任何推断之前，必须仔细考虑这些异常。综上所述，就得到如下粗略的建模步骤：（1）通过观察，识别有关实际行为的主要因素，可能要做些简化；（2）猜测因素之间的暂时的关系；
5、（3）将数学分析用于所得到的模型；（4）借助实际问题来解释数学结论。1.2 数学模型的概念与性质数学模型是为了研究特定的实际系统或现象而设计的数学结构，包括图示、符号模拟和实验结构等。数学模型可以进以步加以区分。有些现有的数学模型与某个特定的实际现象是一致的，从而可以用来研究该现象。有些数学模型是专门来构建并研究一种特定的现象的。图4说明了模型之间的这种区分。从某个实际现象出发，可以通过构建一个新的模型或选择一个现有的模型数学地表示该现象。另一方面，可以通过实验或模拟来重复该现象。图4 模型的类型行为重复有直接重复与间接重复之分。直接重复就是通过做各种实验性的实验来直接地重复该行为。从这些试验
6、中收集数据并以某种方式分析数据（如统计的方法、曲线拟合的方法等），从而得出某些结论。例如，预测种群的相互作用、资源的利用以及污染的全局影响等。间接重复就是试图间接地重复该行为，可以利用诸如对力学系统进行建模的电流模拟器、风洞中缩小了尺寸的超因素飞机模型那样的缩微模型，或者试图利用计算机重复一种行为，例如计算机模拟种群的相互作用、资源的利用以及污染的全局影响或早上高峰期电梯系统的运行等。图4所示的各种模型之间的区别只是为了易于讨论而做的，现实中一个主要的模型可以从现有的模型、模拟和实验中选取若干模型作为子模型。通过对比这些类型的模型并比较它们描绘现实世界的各种能力可以提供有益的信息。模型具有以下
7、性质：（1）保真性：模型表示现实的精确性。为了证明最大的保真性，我们会期望来自现实世界的直接观察，即使会产生某种检验的偏差和测量的误差。我们会期望实验模型具有仅次于现实的保真性，因为行为是在诸如实验室那样得到更好控制的环境下直接观察到的。由于模拟融入了间接的观察，所以进一步失去了保真性。只要构建了数学模型、简化了现实世界的条件，结果就会失去更多的保真性。最后，任何选择的模型都是基于附加的简化，而这些简化甚至不适合特定的问题，从而意味着还会进一步失去保真性。可见保真性的次序如下：实际观察实验模拟构建的数学模型选择的数学模型。（2）成 本：建模过程的总费用。一般地，我们期望所选择的模型成本最小。构
8、建数学模型要简化所研究的现象，就要承担相应的附加费用。实验的确立和操作通常是昂贵的。模拟要用到研制起来十分昂贵的间接设备，而且要包括大量的计算机空间、时间和维护费用。可见成本的次序如下：实际观察模拟实验构建的数学模型选择的数学模型。（3）灵活性：当收集到了所需要的数据时，改变和控制影响该模型的诸多条件的能力。构建的数学模型通常是最灵活的，因为可以相对容易地选择的建设和条件；选择的模型是不那么灵活的，因为它们是在特定的条件下研制的。不过，特定的条件常常可以在广泛的范围内变化。为了略微改变假设和条件，模拟通常需要研发一些另外的设备。实验就更不灵活了，因为某些因素在超过特定条件时是很难控制的。可见灵
9、活性的次序如下：构建的数学模型选择的数学模型模拟实验实际观察。1.3 数学模型的构建 构建数学模型，一般有如下几个步骤：（1）甄别问题 这一步通常是困难的，因为在现实生活中，没有人会只是简单地给你一个有待解决的数学问题。通常你必须从大量的数据中搜索和甄别所研究问题的某些特定的方面。此外，考虑到要把描述问题的口头陈述翻译成数学的符号表示，因此在阐明问题时要足够精确，重要的是要认识到对问题的回答可能不会直接导致合用的问题识别。（2）做出假设 一般来说，不能指望在一个合用的数学模型中抓住影响问题识别的所有因素。关键是通过减少所考虑的因素的数目来进行简化。因此，必须确定余下的变量之间的关系。再次是通过
10、假设相对简单的关系，就能够降低问题的复杂性。因此做出假设主要有两方面：(a) 变量分类：是什么影响到（1）所识别的问题的行为？把他们作为变量列出来。模型要解释的因变量（可能有多个），剩下的变量中一部分是自变量。每个列出的量被分为因变量、自变量或两者都不是。有两个理由可以忽略某些变量。首先，相对于与该行为有关的其他因素，这个变量的影响可能较小。其次，以几乎相同的方式影响各种选择的因素可能可以忽略，即使这个因素对所研究的问题有很重要的影响。例如，考虑确定演讲厅最佳形状的问题，其中黑板或投影仪的易读性是支配准则。照明肯定是关键因素，但可能会以几乎同样的方式影响所有可能的形状。通过忽略这种在以后可能会
11、融合进一个分开的、改进的模型中的因素，分析就可能大大简化。(b) 确定研究中的所选择的变量之间的相互关系：在能够假设变量之间的关系之前，一般必须做出某些进一步的简化。问题可能十分复杂，以至于看不出一开始确定的所有变量之间的关系。在这种情况下，可能要研究子模型，即分别研究自变量中的一个或几个。最后再把子模型合在一起。（3） 求解或解释模型 把所有的子模型合在一起看看该模型告诉我们什么。在某些情况，模型可能包含为得到我们正在寻求的信息，必须要求解的数学方程或不等式。问题的陈述常常要求模型的最好的或最优的解。常常会发现，为完成这一步我们的准备是很不够的，或者可能会得到一个不会求解或不会解释的难于处理
12、的问题。碰到这种情况，我们也许应该回到（2）并做出另外的简化假设，有时甚至要回到（1）去重新定义问题。（4）验证模型 在能够利用模型之前，必须检验模型。在设计检验和收集数据之前，要先问几个问题。首先，该模型是否回答了（1）中甄别的问题，或者是否偏离了我们构建该模型的关键问题？其次，该模型有实用价值吗？既我们确实能收集必要的数据来运作模型吗？第三，模型有普遍意义吗？一旦通过了这种常识性的检验，就要利用由经验观察得到的实际数据来检验模型。要谨小慎微地以如下方式来设计检验，即在实际应用模型时预期会碰到的各个自变量的取值范围内观察结果。在（2）中所做的假设在一个限定的自变量的范围之内是合理的，但对这个
13、范围之外的值却是很不合理的。例如，牛顿第二定律的常用解释为“作用在物体上的力等于物体的质量乘以物体的加速度”，直到物体的速度趋于光速之前这个定律都是合理的模型。从任何检验中得出的结论都要小心。正如不能简单地用支持定理的许多特殊情形来证明定理一样，也不能根据模型收集到的特殊的证据来推出广泛的一般结论。一个模型不能成为一条定律，就是因为定律是在一些特定的情形下重复得到验证的，而模型的合理性要通过收集到的数据来证实。（5）实施模型 首先要用决策者和用户能懂的术语来解释模型是否对他们有用。其次模型要处于用户看来是好的状态，如经济实用。最后也要包括推进模型运作所必须的数据。（6）维修模型 注意模型是从（
14、1）甄别的特定的问题和（2）中所做的假设推出来的。原先的问题会有变化吗？某些先前忽略的因素会变得重要吗？子模型需要修改吗？如果回答是，就可能要对模型进行修改。1.4 构建模型的迭代性构建模型是一个迭代的过程。从考察一些系统和甄别我们希望预测或解释的特定行为开始，再识别变量和简化假设，到最后生成一个模型，一般是从一个相当简单的模型开始，再根据我们确认过程所指示的结果来修改模型。如果我们不能提出一个新的模型或求解我们已有的模型，就必须简化模型。这是通过把某些变量当作常量处理、忽略或者集成某些变量、在子模型中假设简单的关系或者进一步限制所研究的问题来完成的。另一方面，如果结果不够精确，就必须改进模型。改进一般与简化相反。它是通过引进额外的变量、假设变量之间的更为复杂的关系或者扩展问题的范围来完成的。通过简化和改进，我们确定了模型的一般性、现实性和精确性。不能过分强调这种过程，但是这种过程构成了建模的艺术。 表1 数学建模的艺术：根据需要简化或改进模型 模型简化 模型改进 1 限制问题的识别 1 扩展问题2 忽略一些变量 2 考虑额外的变量3 若干变量合并的效果 3 仔细考虑每个变量4 令某些变量为常数
