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1、报童模型下的回购契约1 基本模型1.1 前提在该模型下存在单个供货商和单个零售商，零售商面临着报童模型问题：零售商必须在有随机需求的单个销售季节来临之前选择一个订购数量。假设双方都是风险中性，即双方都以最大化己方的利润为目标。并且双方都知道所有成本、参数及规则 。该模型发生在两种遵从机制下：自愿遵从机制和被迫遵从机制。假设市场需求为（），期望需求用表示，即，需求分布函数和概率密度函数分别为、。为严格的单调递增函数，有，。假设市场零售价格为，供货商产品的成本价和零售商的边际成本分别为和，其中零售商的边际成本发生在零售商购买商品的过程中。令为零售商单位缺货损失成本，为由于零售商单位缺货而导致供应商
2、的惩罚成本，其中为供应链上单位缺货的总惩罚成本。在销售季节末，零售商可以获得未售出的商品的每单位残值为，其中。1.2 事件发生顺序首先，供应商向零售商提供一个合约，零售商可以选择接受或者拒绝，假设零售商接受合约，零售商向供应商提交一个数量为的订单，接着供应商在销售季来临之前生产并向零售商转交产品。随后需求发生，最终转移支付按照两方公司的订立的合约进行转移。如果零售商拒绝合约，本次合约结束。 1.3 利润函数设零售商的订购数量为，零售商订购数量为时的期望利润用表示，期望销售用表示，期望剩余库存用表示，期望销售损失用表示。则期望销售为订购量与市场需求的极小值，即，当时的数学期望为，时的数学期望为，
3、即： 期望剩余库存为订购量超过市场需求的部分，即，则： 期望销售损失为市场需求超过订购量的部分，即，则： 零售商的期望利润为： 供货商的利润函数：供应链的利润函数：为简便计算，令，则 (2.1)为供应链上的最优订购量，。假设，因为是严格的增函数，为凹函数，最优订货量有唯一解。满足。 (2.2)为零售商的最优订购量，。分销商的订购量依赖于转移支付。2.3 回购契约在回购契约下，零售商向供货商支付每单位的价格，在销售季节结束之后对于剩余库存，供货商向零售商商支付每单位，那么零售商支付给供货商的转移支付为：上式表明，对所有订购的产品，零售商向供应商支付的单价，同时对所有未售出的产品，零售商向供应商支
4、付单价：。由于零售商不能从剩余库存中获利，故假设。其中，一个隐含的假设为供应商能够准确地确认剩余产品的数量，而且这种由于明确辨认剩余产品数量所带来的成本不能高于合同所带来的额外收益。首先考虑零售商的订购决策，在回购契约下的零售商的期望利润： 令： (2.5) (2.6)由于是一对相互影响的参数，且一一对应，所以调整二者的关系，可得出一个，使其满足上式。将其代入上式，得： (2.7)而的加入，主要是使其一阶导数条件相同，即 接下来考虑供应商的决策，此时供应商的利润为： 同时，可证：因此，回购契约可以使供应商达到协调。综上所述，可以得到：只要，在自愿遵从的情况下，回购契约就可以达到协调，是可能的，
5、但最佳的解决方案不是唯一的纳什均衡解，依赖于的取值。同时，自愿遵从契约实际上增强了供应链的鲁棒性。假设零售商选择了订购的非理性决策，由于供应商可以选择交付少于零售商的订购数量的货物，所以供应商会选择交付的最优订购量，以此来校正零售商的错误决策。然而，由于零售商可以拒绝多于其订购量的货物，所以当零售商的订购量少于最优订购量时，供应商对零售商的错误决策则无能为力。接下来，我们考虑供应商和零售商的利润分配。零售商的利润是的增函数，供应商的利润是的减函数，所以起到了协调供应链利润分配的作用。若零售商将获得供应链的全部利润：则 ，解得： （2.8）同时，若供应商获得供应链的全部利润：则 ，解得 (2.9)因此，包括和在内，回购契约下的每一种利润分配方案都是可行的。供应链的协调需要同时调整批发价和回购价来确定参数，以此达到供应链的协调。由于参数并不是回购契约中真实存在的,虽然大致可以结实供应链上的利润分配，只有当时，才回成为回购契约下准确的利润分配参数回购契约下订购量为时供应商的利润：令, 将代入，求得当订购量为最优时的批发价为：
