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1、1 一、选择题：一、选择题：1-8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分 1.设xn是数列，下列命题中不正确的是（ ） (A)若limxn a，则limx2nlimx2n1 a nnn (B)若limx2nlimx2n1 a，则limxn a nnn (C)若limxn a，则limx3nlimx3n1 a nnn (D)若limx3nlimx3n1 a，则limxn a n 【答案答案】(D) nn 【解析解析】这个题目考查的是收敛的数列与其子数列间的关系，如果数列xn收敛于a，那么它的任 一子数列也收敛，且极限也是a。 对于(A)选项，limxn=a，也是数列xn收敛于a
2、，那么对于x2n,x2n+1都是xn子列，所 n 以有limx2nlimx2n1a，选项(A)是对的。对于选项(C)与选项(A)是一样的道理。所以选项 nn (C)也是正确的。 对于(B)选项，x2n,x2n+1的极限都是等于a，那么对于x2n,x2n+1分为下标为偶数和奇数 项，也就是limxn=a。所以选项(B)是对的 n 对于(D)选项，limx3n limx3n1a，x3n,x3n+1都是xn子列，所以不能推出limxna n 所以(D)选项错。 nn 2.设函数fx在,连续，其2阶导函数 f x的图形如右图所示，则曲线y fx的拐 2 x 1 2 1 点个数为（ ） (A)0 【答案
3、答案】(C) (B)1(C)2(D)3 【解析解析】这道题目考查的是对拐点的判断，题目给出的是f(x)的图形，根据判断拐点的第一充分 条件， 如果在一点处左右两遍的二阶导数异号，则这点就是拐点。所以我们只要从图形上找到某点左 右两边异号，显然有两个。所以选(C) 3.设D x, y| x2 y2 2x,x2 y2 2 y，函数fx,y在D上连续，则fx,ydxdy （） D (A) 4d 2cos fr cos, r sinrdr 2d 2sin fr cos, r sinrdr 00 2sin 0 4 2cos (B) 4d fr cos, r sinrdr 2d fr cos, r sin
4、rdr 000 4 (C)2 0 dxfx, ydy 12xx2 (D)2 0dxx fx, ydy 【答案答案】(B) 【 解 析解 析 】这道题目主要考查的是二重积分的极坐标和直角坐标上下限的确定。 3 n1 1 n n n 3nnn 对于二重积分首先是画出积分区域，题中给出的积分区域是是两个圆相交的区域，如下图，画完图 之后，我们发现，这个积分区域要若是用极坐标，则需要分为两部分积分，下半部分，q的取值范 围为 p q 4 0，r的取值范围为0r2sinq，上半部分，q的取值范围为 pp q，r的 42 取值范围为0r2cosq，所以 4d2sinfr cos, r sinrdr 2d2
5、cosfr cos, r sinrdr 000 4 选择(B)。在看直角坐标来分析，先对y积分， 11-1-x2 dxf(x, y)dxdy。所以(C),(D)都是 02x-x2 错的。 4.下列级数中发散的是（ ） n 1 1 1 n 1 n! (A) n n1 【答案答案】(C) (B) n1 ln1 (C) n2 ln n (D) n n1 【解析解析】这道题目主要考查的是级数敛散性判断，根据级数的判别法主要有根值判别法和比值判别 法。对于交错级数的判别法主要是莱布尼茨判别法。 对于(A)选项，用根值判别法limn= 1 1 n2 1 n=1 我们知道 ，所以 lnnn 。 n 发散的，
6、所以 lnn 是发散的。 所以选择(C) 1 1 1 n=1 1 n=1 5、设矩阵A 1 2a ，b d ，若集合 1,2，则线性方程组Ax b有无穷多个解 1 4 a2 d 2 的充分必要条件为（ ） (A)a,d (B)a,d (C)a,d (D)a ,d 【答案】：D 【解析】： 【答案】：D 【解析】： 有无穷多解，只需要系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且都小于 3.下对增广矩阵进行初等行变换。 1 11 1 1 111 (A,b) 1 2ad 0 1a 1d 1 1 4a2d 20 0(a 1)(a2)(d 1)(d 2) ， 由r(A) r(A,b) 3，故a 1或a 2，同时
7、d 1或d 2。答案选（D） 6、设二次型fx ,x ,x在正交变换x Py下的标准形为2 y2 y2 y2，其中P e , e , e， 133123123 若Q e1,e3,e2，则fx1,x3,x3在正交变换x Qy下的标准形为（ ） (A)2y2 y2 y2(B)2y2 y2 y2(C)2y2 y2 y2(D)2y2 y2 y2 【答案】：A 【解析】： 【答案】：A 【解析】： 由题设可知f xTAx yT(PTAP)y 2y2 y2 y2.且 5 123 2 2 0 0 PTAP 010 0 01. 1 0 0 Q P001 PB 0 10 2 0 0 QTAQ BT(PTAP)B
8、 0 10 所以f 0 01 xTAx yT(QTAQ)y 2y2 y2 y2。答案选（A） 7、A,B为任意两个事件，则 (A)P(AB)P(A)P(B) (C)P(AB) P(A)+P(B) 2 (B)P(AB)P(A)P(B) (D)P(AB) P(A)+ P(B) 2 【答案】【答案】(C) 【解析】【解析】P( A) P(B) PA B PAB 2PAB，故选(C) . 8、XB(m,q)，X1,Xn为样本，则E n (Xi-X) = i=1 (A)(m-1)nq(1-q) (C)(m-1)(n-1)q(1-q) 【答案】【答案】(B) 【解析】【解析】 n 2 (B)m(n-1)q
9、(1-q) (D)mnq(1-q) 1 n 2 E i=1 (Xi-X) =E(n-1) n-1 i=1 (Xi-X) ，故选(B) . 1 n 2 =(n-1)E (Xi-X) i=1 =(n-1)D(X)=(n-1)mq(1-q) 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9.lim ln cos x x0 x2 n-1 6 0 (0,0) 1 (x) 0 f (t)dtxf x 【答案】【答案】 1 2 【解析解析】这道题目主要考查的是极限计算。 ln(1+cosx-1) - 1 x2 lim lncosx =lim=lim cosx-1 =
10、lim 21 =-。 x0 x2 x 0 x2 x0 x2 x2 x0 x22 10.设函数f(x)连续，(x) 0 则f (1) 【答案】【答案】2 xf (t)dt，若(1) 1，(1) 5， 【解析】【解析】对于这道题目主要是考查变上限积分求导数。 (1) 0f (t)dt 1 x2x2 (x) 0xf (t)dt x0f (t)dt x2 2 (1) 1 f (t)dt f12 5 f1 2 11.若函数z z(x, y)由方程ex2y3z xyz 1确定，则dz 【答案】【答案】 1 dx 2dy 3 zz 【解析】【解析】这道题目主要考查的是隐函数求偏导数。对于这道题目求全微分，分
11、别求出, xy ex2y3z 1 3 z yz xy z 0, z 1 . x xxx0 3 ex2y3z 23 z xz xy z 0, z y0 2 . y yyx0 y0 1 则dz (0,0) dx 2dy 3 12.设函数y y(x)是微分方程y y2y 0的解，且在x 0处y(x)取得极值3，则y(x) 【答案】【答案】e2 x 2ex 【解析】【解析】对于这道题主要考查的是了二阶常系数齐次微分方程，以及极值的必要条件。 2x 3 7 11111 先求解特征方程 2 2 0,解得 2,1.所以原方程的通解为yC e2xC ex由题 12 设可知y0 3,y0 0.代入解得y e2x
12、2ex 12 ， 13.设3阶矩阵A的特征值为2,2,1,B A2 A E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B 【答案】：【答案】：21. 【解析】：【解析】： 由题设可知矩阵A2的特征值为4, 4,1.所以矩阵B的特征值为3, 7,1. 则B 37121. 14.(X,Y)N(1,0;1,1,0),则PXY-Y0 123 0 11 22、X 观测数。 f(x)= ，对X进行观测，当第二次出现大于3的观测值是停止，Y为 0, 其他 (1)Y的概率分布(2)E(Y) 【答案】【答案】(I)PY k C1p(1 p)k 2p (k 127 k 2, k 2, 3, ； (II)E(Y ) 16 k1
13、 1)( ) ( ) 88 x 1 【解析】【解析】(I)P(X 3) 2ln2dx ，从而Y的概率分布为： PY k C1 3 p(1 p)k 2p (k 8 127 k 2, k 2, 3, k1 1)( ) ( ) 88 1 2 7 k2 7 k2 7 k1 7 k (II)E(Y) kPY kk(k 1)(8) (8)k(k 1)(8) 2( ) 8 ( ) 8 k2k2n2 记h(x) k2 k(k 1)xk 2,1 x 1， 则h(x) k2 k(k1)xk2( n2 kxk1) ( k2 xk) 2 ， (1 x)3 g(x) k(k 1)x k2 n1 xk(k 1)x k2 n2 xh(x) ， (1 x)3 n2k22 2x2 f (x) k(k 1)x k 2 xk(k 1)x k 2 x h(x) ， (1 x)3 13 n n n 2 4x 2x2 故，h(x)2 f (x) g(x) (1 x)3 2 ， 1 x 从而E(Y ) h( 23、f(x)=1 1 ,q -q ) 16. x1 0,其它 (1)矩估计；(2)最大似然估计 1 n 【答案】【答案】(I) 2 X 1, X Xi；(II) minX1, X2, Xn i1 【解析】【解析】(I) E(X) xf (x;)dx
