《苏科版八年级上册数学第一章全等三角形的辅助线知识点与同步训练含答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏科版八年级上册数学第一章全等三角形的辅助线知识点与同步训练含答案解析（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全等三角形辅助线的作法全等三角形辅助线的作法 知识精讲知识精讲 一中点类辅助线作法 见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是 在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ 是AD 底边的中线)ABC 图 3图 2图 1 F E D N D M E A BC A BC D CB A 二角平分线类辅助线作法 有下列三种作辅助线的方式： 1由角平分线上的一点向角的两边作垂线； 2过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形； 3，这种对称的图形应用得也较为普遍OAOB A B O P P O B A A B O P 三
2、截长补短类辅助线作法 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思 想所谓“截长” ，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较 短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已 知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线 段的关系有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解 三点剖析三点剖析 一考点一考点：全等三角形辅助线的作法 二重难点二重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法 三易错点三易错点： 1辅助线只是一个指导方法，出现相
3、关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅 助线，关键是如何分析题目； 2辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多 少度”这种辅助线就不一定能作出来 题模精讲题模精讲 题模一：中点类题模一：中点类 例例 1.1.1 已知：ABC中，AD是BC边上的中线，试求AD的取值范围8AB 6AC 【答案】 17AD 【解析】 该题考查了三角形三边关系和三角形的全等 A B C D E 延长 AD 至 E，使得，连结 CEDEAD 在ABD 和ECD 中 1. BDCD ADBEDC ADED ABDECD（SAS） ABCE AE 的取值范围为CEACAECE
4、AC 214AE 17AD 例例 1.1.2 如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连ABCABACABDBDABEAB 接、，求证：CECD2CDEC E D CB A 【答案】 见解析 【解析】 解法一：如图所示，延长到，使，连接 BFCEFEFCE 容易证明，从而，而，故EBFEACBFACACABBDBFBD 注意到，CBDBACACBBACABC ，CBFABCFBAABCCAB 故，而公用，故，CBFCBD BCCBFCBD 因此2CDCFCE FA B C D E 解法二：如图所示，取的中点，连接CDGBG 因为是的中点，是的中点，GCDBAD 故是的中位线，从而，BGDAC 1
5、1 22 BGACABBE 由可得，故，BGACGBCACBABCEBC BCEBCG 从而，ECGC2CDCE G A B D E C 题模二：角平分线类题模二：角平分线类 例例 1.2.1 如图，平分，平分，点在上180AD BEABCCEBCDEAD 探讨线段、和之间的等量关系ABCDBC 探讨线段与之间的位置关系BECE E D CB A 【答案】 见解析 【解析】 ；证明如下：ABCDBCBECE 在线段上取点，使，连结BCFFBABEF 在和中ABEFBE ABFB ABEFBE BEBE ABEFBE ，AEBFEB BAEBFE 180AD 而180BFECFE CDECFE
6、在和中CDECFE CDECFE DCEFCE CECE CDECFE ，DECFEC CDCF ，ABCDBC90BECBEFCEF F E A BC D 例例 1.2.2 如图，已知，BD为ABC的平分线，CEBE，求证：ABAC90BAC 2BDCE E D C B A 【答案】 见解析 【解析】 延长 CE，交 BA 的延长线于点 F BD 为ABC 的平分线，CEBE， BEFBEC，BCBFCEFE ，CEBE，90BACABDACF 又，ABDACF，ABACBDCF2BDCE F E D C B A 例例 1.2.3 已知，AC平分MAN，点B、D分别在AN、AM上120MAN
7、 （1）如图 1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；90ABCADC （2）如图 2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若180ABCADC 不成立，请说明理由 【答案】 见解析 【解析】 （1）关系是：ADABAC 证明：AC 平分MAN，120MAN 60CADCAB 又，90ADCABC 30ACDACB 则（直角三角形一锐角为 30，则它所对直角边为斜边一半） 1 2 ADABAC ；ADABAC （2）仍成立 证明：过点 C 分别作 AM、AN 的垂线，垂足分别为 E、F AC 平分MAN （角平分线上点到角两边距离相等）CECF ，180A
8、BCADC 180ADCCDE CDEABC 又，CEDCFB（AAS）90CEDCFB ，EDFBADABAEEDAFFBAEAF 由（1）知，AEAFAC ADABAC 题模三：截长补短类题模三：截长补短类 例例 1.3.1 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的ABC1BDC120 等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周D60MDNMNABACAMN 长 N M D CB A 【答案】 见解析 【解析】 如图所示，延长到使ACECEBM 在与中，因为，BDMCDEBDCD90MBDECD BMCE 所以，故BDMCDEMDED 因为，所以120BDC60MDN60BDMN
9、DC 又因为，所以BDMCDE 60MDNEDN 在与中，MNDENDDNDN60MDNEDN DMDE 所以，则，所以的周长为MNDENDNEMNAMN2 E A BC D M N 例例 1.3.2 阅读下列材料： 如图 1，在四边形 ABCD 中，已知ACB=BAD=105，ABC=ADC=45.求证：CD=AB. 小刚是这样思考的：由已知可得，CAB=30，DAC=75，DCA=60，ACB+DAC=180， 由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点 A 作 AEAB 交 BC 的延长线于点 E，则 AB=AE，E=D. 在ADC 与CEA 中， ADCCEA， 得 CD=AE=
10、AB. 请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题： 如图 2，在四边形 ABCD 中，若ACB+CAD=180，B=D，请问：CD 与 AB 是否相等？若相等， 请你给出证明；若不相等，请说明理由. 【答案】 见解析 【解析】 该题考查的是全等三角形的判定与性质 CD 与 AB 相等 证明如下： 作交 BC 的延长线于点 E，AEAB BE BD ，DE ，180ACBDAC 180ACBECA ，DACECA 在DAC 和ECA 中 DE DACECA ACCA DACECA CDAE .CDAB 随堂练习随堂练习 随练随练 1.1 如图所示，已知中，平分，、分别在、上，ABCADBAC
11、EFBDADDECD 求证：EFACEFAB F A CDEB 【答案】 见解析 【解析】 延长到，使，连结，利用证明，ADMDMADEMSASADCMDE ，3M ACEM 又，ACEFEMEF ，1M 13 平分，ADBAC23 ，12 EFAB 3 2 1 M F A CDEB 随练随练 1.2 已知中，、分别平分和，、交于点，ABC60ABDCEABC. ACBBDCEO 试判断、的数量关系，并加以证明BECDBC D O E CB A 【答案】 见解析 【解析】 ，BECDBC 理由是：在上截取，连结，BCBFBEOF 利用证得，SASBEOBFO12 ，60A 1 90120 2
12、BOCA120DOE ，180ADOE 180AEOADO ，13180 ，24180 12 34 利用证得，AASCDOCFOCDCF BCBFCFBECD 4 32 1 F D O E CB A 随练随练 1.3 如图，在ABC中，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ60BAC40ACB 分别是BAC、ABC的角平分线求证： （1）；BQCQ （2）BQAQABBP 【答案】 见解析 【解析】 该题考察的是全等三角形 （1）BQ 是的角平分线，ABC 1 2 QBCABC ，且，180ABCACBBAC 60BAC40ACB ，80ABC ，40 1 80 2 QBC ，QBCC ；B
13、QCQ （2）延长 AB 至 M，使得，连结 MPBMBP ，MBPM ABC 中，60BAC40C ，80ABC BQ 平分，ABC ，40QBCC ，BQCQ ，ABCMBPM ，40MBPMC AP 平分，BAC ，MAPCAP 在AMP 和ACP 中， MC MAPCAP APAP AMPACP， ，AMAC ，AMABBMABBPACAQQCAQBQ ABBPAQBQ 随练随练 1.4 五边形ABCDE中，求证：AD平分ABAEBCDECD180ABCAED CDE C E D B A 【答案】 见解析 【解析】 延长 DE 至 F，使得，连接 AC.EFBC ，180ABCAED 180AEFAED ABCAEF ，ABCAEFABAEBCEF ，EFBCACAF ，BCDECDCDDEEFDF ADCADF，ADCADF 即 AD 平分CDE A B D E F C 随练随练 1.5 如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的高，如果，我们就BACBC CDABBD 称
