《2009年江苏高考数学试卷带详解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2009年江苏高考数学试卷带详解（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.若复数 其中是虚数单位，则复数的实部为 .【测量目标】复数的运算.【考查方式】给出两个复数，根据复数的减法，乘法运算求目标复数的实部.【难易程度】容易【参考答案】 【试题解析】，= ，所以实部为.2.已知向量和向量的夹角为,，则向量和向量的数量积 .【测量目标】向量的运算.【考查方式】直接给出两个向量的模长和两向量的夹角，求向量的数量积.【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】.3.函数的单调减区间为 . 【测量目标】利用导数判断函数的单调性.【考查
2、方式】直接给出函数解析式，利用导数求其单调区间.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】，由得单调减区间为. 4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则 . 第4题图 【测量目标】函数的图象的性质.【考查方式】观察函数图象，得到周期.【难易程度】容易【参考答案】3，所以 .5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 . 【测量目标】随机事件的概率.【考查方式】给出等可能事件，直接求概率.【难易程度】中等【参考答案】0.2【试题解析】 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，
3、它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为 . 【测量目标】平均数，方差.【考查方式】将统计的案例放入实际生活中，根据表格中的数据计算平均数和方差.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 . 第7题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】看懂程序框图，进行运算
4、得到答案.【难易程度】中等【参考答案】22【试题解析】第一次循环:S=1, T=3第二次循环：S=8，T=5，第三次可以输出W=17+5=228.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 【测量目标】归纳推理中的类比推理.【考查方式】给出一个例子，通过类比，求体积比.【难易程度】中等【参考答案】1:8【试题解析】平面上面积比和边长比成平方，空间中面积比和棱长比成立方，所以体积比为1:8. 9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
5、 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出解析式，利用导数的几何意义，根据该点的切线的斜率，求点坐标.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】，又点P在第二象限内，点P的坐标为.10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 . 【测量目标】指数函数的单调性.【考查方式】已知指数函数的底数，根据指数函数的单调性，判断自变量的大小.【难易程度】中等【参考答案】mn【试题解析】考查指数函数的单调性. ，函数在上递减.由得：mn11.已知集合，若则实数的取值范围是，其中= . 【测量目标】集合间的关系，对数不等式.【考查方式】描述法表示集合，求出对数不等式，根据集合间的关系，求参数的范围.【难易程
6、度】中等【参考答案】4【试题解析】由得，；由知，所以4.12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题： 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. 【测量目标】命题的基本关系，立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理.【考查方式】通过两个不重合的平面，确定命题的真假.【参考答案】【难易程度】较难【试题解析】对于，根据面面的平行定理，平面内两条相交直线，互相平行于另一平面的两条直线，则两条直线平
7、行;对于，根据线面平行的判断依据，显然成立.对于，当一条直线垂直两平面的相交直线，显然不一定使得，两平面垂直，所以为假命题；.对于，只满足充分条件，不满足必要条件，为假命题.故真命题为.13如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 第13题图 【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的基本性质，直线方程.【考查方式】根据直线和椭圆的位置关系，利用椭圆的基本性质，求椭圆的离心率值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】直线的方程为：；直线的方程为：.（步骤1）二者联立解得：，（ 步骤2） 则在椭圆上， （
8、步骤3）解得： （步骤4）14设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则 . 【测量目标】等比数列的通项【考查方式】给出构造的新数列，根据列举表示出的集合，利用通项求公比进而求值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15（本小题满分14分） 设向量 （1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：. 【测量目标】向量的运算，同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式.【考查方式】给出以三角函数表示的坐标
9、向量，根据向量的线性运算求正切值；求两向量和的模长最大值；在通过已经得到的关系和条件证明向量的平行.【难易程度】中等【试题解析】（1）由与垂直，（步骤1）即，；（步骤2）（2）（步骤3），最大值为32，（步骤4）所以的最大值为.（步骤5）（3）由得，（步骤6）即（步骤7）所以.（步骤8）16（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上， 求证：（1）（2） 第16题图 【测量目标】线面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定. 【考查方式】直三棱柱中点，线位置关系，利用线线，线面，面面之间的位置关系和定理进行证明.【难易程度】容易【试题解析】（1）因为分别是的中点，所以，（步骤1）
10、又，所以；（步骤2）（2）因为直三棱柱，所以，（步骤3）又，所以，（步骤4）又，所以（步骤5）17（本小题满分14分） 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 【测量目标】等差数列的性质，通项，前n项和.【考查方式】给出数列项数之间的关系，求出通项及前n项和；求满足条件的等差数列的项.【难易程度】中等【试题解析】(1)以，即，（步骤1）又由得，（步骤2）解得，（步骤3）所以的通项公式为，前项和.（步骤4）（2），令，（步骤6）因为是奇数，所以可取的值为，当，时，是数列中的项；（步骤7），时，数列中的最小项是，不符合.
11、 （步骤8）所以满足条件的正整数.（步骤9）18（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，已知圆和圆（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 第18题图 【测量目标】直线与圆的方程、点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线和圆的位置关系，以及圆的方程，求直线方程给出两垂直直线与两圆 的位置关系，求满足条件的点坐标.【难易程度】较难【试题解析】(1)设直线的方程为： ，即，（步骤1）由垂径定理，得：圆
12、心到直线的距离，（步骤2）结合点到直线距离公式，得（步骤3）化简得：（步骤4）求直线的方程为：或.（步骤5）(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：即（步骤6）因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等.由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等. 故有： ，（步骤7）化简得：（步骤8）关于的方程有无穷多解，有： （步骤9） 解之得：点P坐标为或.（步骤10）19.(本小题满分16分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和
13、，则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记（2）中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【测量目标】基本不等式的实际应用.【考查方式】给出实际例子，列出不等式，根据不等式性质，进行证明；利用基本不等式求恰当值.根据所有条件证明同时取到问题.【难易程度】较难【试题解析】(1)（步骤1） 当时，（步骤2）显然（步骤3）(2)当时，（步骤4）由，（步骤5）故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为（步骤6）（3）（方法一）由（2）知： 由得：，（步骤7）令则，即：.（步骤8）同理，由得：（步骤9）另一方面，（步骤10）（步骤11）当且仅当，即时，取等号. （步骤12）所以不能否适当选取的值，使得和同时成立，但等号不同时成立. （步骤13）方法二：由（2）知，因为 （步骤7）所以，当,时
