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1、摘要 数学分析研究的对象是函数。一般来说，研究函数有两种方法：一种是代数与几何的综合。用这种方法只能研究函数的简单性质，有时做起来很复杂；另一种方法就是极限方法，用这种方法能够研究函数的深刻的性质，并且很简单。数学分析课中研究函数就是用这种方法。由此可见，极限是贯穿数学分析等数学的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在了一起，因此掌握极限概念与极限运算对数学的研究有一定的理论意义与现实意义。数学分析中一些重要的概念，如函数连续，导数概念，定积分概念等都是用极限来定义的。反过来，我们可以利用这些概念来求极限，所以求极限的方法是十分繁多的。本文主要内容是介绍一些求极限的常用方法与技巧，如利用极限定
2、义，极限运算法则，函数的连续性，左.右极限，两个重要的极限公式等方法来求极限，并列举相应的例子，使读者对极限的计算方法有得到全面的认识。关键词：极限；方法；技巧Abstract Mathematical analysis of the object is a function . In general, the research function in two ways: one is the integrated algebra and geometry . In this way only the simple nature of the research function , somet
3、imes make it so complicated ; Another way is to limit the method , using this method to study the profound nature of the function, and is very simple. Lesson study mathematical analysis function is to use this method. Thus , the limit is through mathematical analysis and other mathematical main line
4、 , each knowledge point it mathematical analysis linked together , so to grasp the concept of limit and limit operation on the study of mathematics has a certain theoretical and practical significance . Mathematical analysis of some important concepts , such as a continuous function , derivative con
5、cept , definite integral concepts are used to define the limits . In turn, we can use these concepts to find the limit, so the demand is very extreme variety of methods . The main content of this article is to introduce some of the limits of seeking common methods and techniques , such as using the
6、continuity of the limit defined limits algorithms , functions , and left . Right limit , two important limit formula and other methods to find the limit, and cited examples of appropriate , so that readers have a calculation method for the limit to get a comprehensive understanding.Key words:limit;m
7、ethod;technique目 录摘要Abstract1、 引言2、 数列极限与函数极限相关定义与定理3、 极限的若干重要性质 3.1收敛数列的性质 3.2函数极限的若干性质4、 极限的若干方法与技巧及举例说明 4.1利用极限的定义求极限或验证极限 4.2利用极限的四则运算法则计算极限 4.3利用函数的连续性求极限 4.4利用夹逼准则求极限 4.5利用两个重要极限求极限 4.6利用无穷小量与无穷大量的性质求极限 4.7利用等价代换求极限 4.7.1一般等价代换 4.7.2由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换 4.8利用拉格朗日中值定理求极限 4.9洛比达法则求极限 4.9.1型不定式极限 4
8、.9.2型不定式极限 4.9.3其它类型的不定式极限 4.9.4求数列的不定式极限 4.9.5广义洛比达法则求极限 4.10利用泰勒展式求极限 4.11利用定积分求极限 4.12用施笃兹公式求极限5、 结束语参考文献致谢1 引言无论是中学数学还是大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，而求数列极限与函数极限是数学分析中的基本运算。如函数的连续、导数、定积分及级数的收敛等都是在极限理论上建立的。它将数学分析，高等数学中的各个知识点连在了一起，所以掌握极限概念与极限运算是学好数学的前提。有很多文章都介绍了极限的计算与技巧如：文献1除介绍了数列极限与函数极限的概念与相关定理还介绍了一般求极限方法与技
9、巧，具体从以下几方面入手：利用极限的定义求极限，两个重要极限求极限，等价无穷小替换求极限，泰勒公式求解极限，洛比达法则求极限。文献2求极限的若干方法，即：用导数定义求极限，导数是用极限定义的，反过来，利用导数定义来求一些数列与函数的极限。用拉格朗日中值定理求极限。用等价代换求极限。广义洛比达法则及其应用等方法。文献3利用极限的一些基本知识建立起来的求极限基本方法，并通过几道习题选解的解法说明，很多题目可以通过变形利用原有的结论可简便地得到要求的结论。基本定积分求极限。文献4不仅总结了求函数极限的基本方法，而且还总结了函数极限与数列极限的关系与应用，更是每道例题详细说明了解极限的技巧以及以及解题
10、过程中所运用到的极限的相关性质。文献5详细总结了极限理论，从预备知识绝对值的性质讲起到序列极限，函数极限以及极限概念的一般化。使我们更清楚的了解并掌握了极限。本篇论文总结了求数列和函数极限的方法，通过相应例题的解法说明，并总结求极限时所用的解题技巧，巧妙地将求极限的方法与技巧相结合。求极限的主要方法有定义法、四则运算、两边夹逼法则、洛比达法则、单调有界定、利用两个重要极限等。除这几个常规的方法还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。2 数列极限与函数极限相关定义与定理数列极限的定义（语言） 设为一个已给数列,为一个定数，如果对于任意给定的正数，
11、总有一个正数存在，使得当时，恒有 我们就说数列（或变量）当无限增大时以定数为极限。或者说，数列收敛于（或变量趋于），并记成 函数极限的定义（语言） 设函数在附近有定义（但在时可以没有定义），为一个定数。如果对于任意给定的，存在某个正数，当时，就有 我们就说：当趋于时以为极限（或收敛于)，并记为。函数极限定义2 设为定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时有 ，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 定义3 设函数定义在区间上，如果存在一个定数，不论给定的怎样小，恒存在一个，当满足不等式： 时，有，则称定数是函数在点的右极限（指自变量从大于的方向趋于），表示为： 或 定义4 设函数定义
12、在区间上，如果存在一个定数,不论给定的怎样小，恒存在一个，当满足不等式： 时，有，则称数是函数在点的左极限（指自变量从小于的方向趋于）表示为： 或 定理1 （单调有界定理） 在实系数中，有界单调数列必有极限定理2 （柯西收敛准则） 数列收敛充要条件是：对任意给的，存在正整数，使得当时有。这个定理从理论上解决了数列极限存在性问题。定理3 （致密性定理） 有界数列必定含有收敛子列。定理4 （Stolz定理） 设数列单调递增并且趋于，(有限或均可以)，则。定理5 （柯西准则） 平面点列收敛的充要条件是：任意给正数，存在正整数,当时，对一切正整数，都有定理6 设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。
13、定理7 （拉格朗日中值定理） 若函数满足以下条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得 。定理8 （积分第一中值定理） 若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得。定理9 （推广的积分第一中值定理） 若函数和都在闭区间上连续，并且在上不变号，则至少存在一点，使得。定理10 （欧拉定理）序列收敛。因此有公式式中称为欧拉常数，且当时，定理11 （归结原则） 设在有定义，则存在的充要条件是对任何以为极限且含于的数列，极限都存在且相等。注1 归结原则可简述为：对任何有注2 如果可以找到一个以为极限的数列，使得不存在，或者可以找到两个都以为极限的数列与，使得与都存在而
14、且不相等，则有不存在。归结原则是连接数列与函数极限的桥梁。3 极限的若干重要性质3.1 收敛数列的性质 （1）唯一性 若数列收敛，则它只有一个极限。 （2）有界性 如果数列收敛，则是有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有。 （2） 保号性 如果，则对于任何，存在正数，使得当时有。 （3） 保不等式性 设于均是收敛数列。如果存在正数，使得当时有，则。 （4） 迫敛性 设收敛数列，都是以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则就有数列收敛，且。 （5） 四则运算法则 如果与都是收敛数列，则，与也都是收敛数列，并且有 ， 。特别当为常数时，。如果再假设及，则也是收敛数列，并且有。3.2函数极限的若干性质（1） 唯一性 如果极限存在，则这个极限是唯一的。（2） 局部保号性 如果，则对任何正数,存在，使得对一切有。（3） 保不等式性 假设与都存在，并且在某邻域内有，则。（4） 局部有界性 如果极限存在，则在的某空心邻域内有界。（5） 迫敛性 如果,并且在空心邻域内有，则。（6） 四则运算法则 如果和，那么有 ,.并且，则。（7） 如果，就有。注 函数极限的性质是在某一邻域内研究的，而数列的极限性质是在实数范围内研究的。4 极限的若干方法与技
