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1、2018 年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数 2 ( )(2)ln(1)2f xxaxxx （1） 若0a ，证明：当10x 时，( )0f x ；当0x 时，( )0f x ； （2） 若0x 是( )f x的极大值点，求a. 考点分析考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在 2018 年全国卷三的 考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第 1 小问，主要通过函数的单调性证 明不等式，第 2 小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数含参变量函数的单调性以及零点问 题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高
2、。 具体而言，第 1 问，给定参数 a 的值，证明函数值与 0 这一特殊值的大小关系，结合函数以及其 导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合 给定函数中20x 这一隐藏特点，把ln(1)x 前面的系数化为前面的系数化为 1，判断ln(1)x 与2 / (2)xx 之间的大小 关系，仅通过一次求导即可把仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较 巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第 2 问的关键。极值点与导数为
3、 0 点之间有什么关系：对于对于任意任意 函数函数，在极值点，导函数一定等于 0 么（存在不存在）？导函数等于 0 的点一定是函数的极值点么？ 因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断与武断的的。在本题目中，0x 是 ( )f x的极大值点的充要条件充要条件是存在 1 0和 2 0使得对于任意 1 (,0)x都满足( )(0)=0f xf( 或者 ( )f x单调递增)，对于任意 2 (0,)x都满足( )(0)=0f xf( 或者( )f x单调递减)，因此解答本题的关键是解答本题的关键是 讨论函数( )f x在
4、0x 附近的单调性或者判断( )f x与(0)f的大小关系。 题目中并没有限定参数a的取值 范围，所以要对实数范围内不同对实数范围内不同 a 取值取值时的情况都进行分类讨论时的情况都进行分类讨论。在第 1 小问的基础上，可以很容易 判断0a 以及0a 时并不能满足极大值点的要求， 难点是在于判断0a 时的情况。 官方标准答案中将 问题等价转化为讨论函数 2 ( )ln(1) / (2)h xxxx在0x 点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比 较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数函数命题命题 等价转化思想等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在
5、 2018 年全国卷 2 以及 2011 年新课标卷 1 的压轴题中 均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更 高，符合高考命题的思想。 下面就a值变化对函数( )f x本身在0x 附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。 解 ：（ 1 ） 当0a 时 ，( )(2)ln(1)2f xxxx， 2 ( )ln(1)2 1 x fxx x ， 2 ( ) (1) x fx x ，定义域为( 1,) ；当10x 时，( )0fx，( )fx单调递减；当0x 时，( )0fx，( )fx单调递增，所以在区间( 1,) 内( )(0)0fxf( 从而
6、( )f x在 ( 1,) 内单调递增; 故当10x 时，( )(0)0f xf；当0x 时，( )(0)=0f xf，得证. （2）若0a ，当0x 时，( )(2)ln(1)20f xxxx，此时0x 不是( )f x的极大 值点，不合题意； 下面考虑0a 时函数( )f x在0x 附近的单调性. 2 2 ( )(1 2)ln(1)+2 1 xax fxaxx x ，1x ，(0)0 f ； 2 2 3(41) ( )=2 ln(1) (1) axax fxax x ，1x ，(0)0 f ； 2 3 2(61)61 ( ) (1) axaxa fx x ，1x ，(0)61fa； 令 2
7、 ( )2(61)61g xaxaxa，显然( )g x与( )fx在( 1,) 有着相同的正负号； ( )g x是以 614 1 44 aa x aa 为对称轴且开口向下的抛物线，所以对于任意0a ，( )g x 在( 1,) 单调递减. 若 1 6 a ，当10x 时，( )(0)0g xg即( )0fx；当0x时，( )(0)0g xg 即( )0fx； 所以( )fx在( 1,0)上单调递增， 在(0,)单调递减； 所以( )(0)0fxf； 所以( )fx在( 1,) 上单调递减， 所以当( 1,0)x 时，( )(0)0fxf，( )f x单调递增， 当(0,+ )x时( )(0)
8、0fxf，( )f x单调递减， 此时0x 恰好是( )f x的极大值点， 满足 题意； 若 1 0 6 a，因为(0)610ga ，所以必然存在一点 1 0x 使得 1 ()0g x；在区间 1 (0,)x内，( )0g x 成立，( )fx单调递增，( )(0)=0fxf，( )fx递增，( )(0)=0fxf， ( )f x单调递增，此时0x 不是( )f x的极大值点，不合题意； 若 1 6 a ，因为(0)610ga ，所以必然存在一点 2 ( 1,0)x 使得( )g x在 2 (,0)x内 恒小于 0，从而在区间 2 (,0)x内，( )fx单调递减，( )(0)=0fxf，( )fx单调递增， ( )(0)=0fxf， 所以( )f x在 1 ( ,0)x单调递减， 此时0x 不是( )f x的极大值点， 不合题意； 综上所述， 1 6 a .
