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1、1构造组合模型巧证组合恒等式证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成。但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明。即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式。 例证明 CnmCnm1mCn1m。分析：原式左端为个元素中取个的组合数。原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素，有种取法。一类为必取有Cn1m1 种取法。由加法原理可知原式成立。 例证明 CnmCpmCpmCnpm。 分析：原式左端可看成一个班有个人，从中选出个人打扫卫生，
2、在选出的个人中，人打扫教室，余下的 np 人打扫环境卫生的选法数。原式右端可看成直接在人中选出人打扫教室，在余下的 mp 人中再选出 np 人打扫环境卫生。显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的。 以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析。若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例，若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例，当然，很多情况下是两者结合使用的。 例证明 CkmnC0mCknC1mCK1nC2mck2n
3、CkmC0m，其中当pq 时 Cpq。 证明：原式左边为 mn 个元素中选个元素的组合数。今将这 mn 个元素分成两组，第一组为个元素，剩下的 n 个元素为第二组，把取出的个元素，按在第一组取出的元素个数（i0，1，2，k）进行分类，这一类的取法数为 CimCkin。于是，在个元素中取个元素的取法数又可写成kiCimCkin。故原式成立。 例证明 CnnCnn1Cnn2CnnmCn1nm1。 证明：原式右边为 mn1 个元素中取 n1 个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在，mn，mn1，共 mn1 个数中取 n1个数。将取出的 n1 个数 al，a2，an由小到大排列，即设a1a2an1
4、，按取出的最大数 an1k1 分类，显然kn，n1，nm。当 kni 时（i0，1，2，m） ，这一类取法数为Cnni，所以取法总数又等于 miCnni。原式成立。 对于某些组合恒等式，有时其左右两边所表示的意义都不易看出，但是如果根据组合数的特点仔细分析，或对原式进行一些适当的变形，往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型，证明就可化难为易。 例证明 CIn2c2n3c3nnCnnn2n1。 分析：注意，原式左端等价 C11CinCi2C2nCinCnn，这里 CIiCIn 可表示先在 n 个元素里选 i 个，再在这 i 个元素里选一个的组合数，可设一个班有n 个同学，选出若干人（至少 1 人
5、）组成一个代表团，并指定一人为团长。把这种选法按取到的人数 i 分类（i1，2，n） ，则选法总数即为原式左端。今2换一种选法，先选团长，有种选法，再决定剩下的 n1 人是否参加，每人都有两种可能，所以团员的选法有 2n1 种。即选法总数为 n2n1 种。显然两种选法是一致的。这里应注意 2n 的意义，并能用组合意义证明 ni0Cin2n。 例证明 Cln22C2n32C3nn2Cnnn（n1）2n。 分析：本题左边与例左边类似，不同的是例左边为 niliCin，而本题为 niLi2Cin。只要在例构造的模型中加上同时还要选一个干事，并且干事和团长可以是同一个人，即可符合原式左边。对原式右边我们可分为团长和干事是否是同一个人两类情况。若团长和干事是同一个人，则有 n2n1 种选法；若团长和干事不是同一个人，则有 n（nl）2nl 种选法。所以，共有n2nln（nl）2n2n（nl）2n2 种选法。 若把恒等式中较简单的一边去掉，变为化简组合式，用此法同样能完成化简，读者可自己体会。用组合数的意义证明组合恒等式，除了对提高学生的智力及观察分析问题的能力有帮助外，还有它独到的好处，那就是把抽象的组合数还原为实际问题，能提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能提高学生的学习兴趣。所以，老师在教学过程中适当介绍一些这方面的内容，将是大有益处的。
