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1、Fuzzy规划与优化,最优化问题一般形式的数学模型是考虑在某些“约束条件”下寻找某个“目标函数”的最大（或最小）值。经典的最优化方法，常将目标函数和约束函数都视为确定的。然而，在实际问题中不论目标函数还是约束条件都具有不同程度的不确定性。从而提出了模糊规划与优化问题，即用模糊集方法来求最优化问题。,模糊集简介,模糊数学(Fuzzy Mathematics)是一个新兴的数学分支, 它并非“模糊”的数学,它是研究模糊现象、模糊信息的精确理论。 模糊数学的目标是仿效人脑的模糊思维, 为解决各种实际问题 提供有效的思路和方法, 模糊数学已广泛应用于自动控制、预测预报、人工智能、系统分析、信息处理、模式
2、识别、管理决策、仿真技术, 甚至那些与数学毫不相关或关系不大的学科, 如生物学、心理学、语言学、社会科学等。,所谓模糊现象, 是指客观事物之间难以用分明的界限加以区分的状态, 它产生于人们对客观事物的识别和分类之时, 并反映在概念之中。外延分明的概念, 称为分明概念, 它反映分明现象。外延不分明的概念, 称为模糊概念, 它反映模糊现象。 模糊现象是普遍存在的。在人类一般语言以及科学技术语言中, 都大量地存在着模糊概念。例如: 高与矮、胖与瘦、美与丑、清洁与污染, 都没有绝对分明的界限。,传统数学以康托尔集合论为基础。集合是描述人脑思维对整体性客观事物的识别和分类的数学方法。康托尔集合要求其分类
3、必须遵从排中律, 它只能描述外延分明的“分明概念”, 只能表现“非此即彼”, 而不能描述和反映外延不分明的“模糊概念”。,为了克服Cantor集的不足, 1965年美国控制论专家L.A.Zadeh 发表了著名论文Fuzzy Sets, 这标志着模糊数学的诞生。,模糊概念的外延是不明确的, 其边界是不清晰的, 因而相应的集合也是“模糊”的。就是说一个对象是否属于这个集合, 不能简单地用“是”或“否”来回答。 比如, 对于“年轻人”这个概念, 若要判断20岁的张三或80岁的李四是否是“年轻人”, 答案自然是明确的！但要判断28岁35岁左右的人是否属于“年轻人”的集合, 就不那么好确定了。对于一个实
4、际年龄不超过30岁而又没有几根头发的人, 就更难确定是否属于“年轻人”的集合了。,在许多场合里, 是与不是, 属于与非属于之间的区别不是突变的, 不是一刀切的, 而是有一个边缘地带、量变的过渡过程。很自然地会提出疑问：为什么要把自己局限于只考虑“属于”、 “不属于”两种极端情况？ 如果分别用1、0表示“属于”、 “不属于”, 称为元素属于集合的隶属度。上述问题就表示成:为什么非要规定隶属度只取0、1两个值呢？ Zadeh正是创造性地允许隶属度可取0、1之间的其他值, 从而用隶属函数来表示模糊集合！,1. 模糊集的基本概念,1. 1 经典集合与特征函数 论域：人们在研究具体问题时, 总是对局限于
5、一定范围内的对象进行讨论, 所讨论的对象的全体称为论域。 在论域X中任意给定一个元素x及任意给定一个经典集合A, 则或者xA, 或者xA, 二者必居且仅居其一。,特征函数,1.2 模糊集合的定义 定义 论域X上的模糊集合(或称模糊子集)A是X到0, 1的一个映射(称为隶属函数) A:X0, 1. 对于xX, A(x)称为x对于A的隶属度。 根据定义, 模糊集合与经典集合不同, 它并没有确定的元素, 我们只能通过隶属函数来认识和掌握它。因此, 模糊集合的定义也常被写成下面的样子: 论域X上的模糊集合A是X到0, 1的一个映射A:X0, 1. 以后我们也将A(x)与A(x), A与A等同起来, 就
6、如同将经典集合与其特征函数等同起来一样。,例 设X=0, 200表示年龄, A, B表示“年轻”和“年老”的模糊集合, 其隶属函数分别为：,隶属函数是刻画模糊集合最基本的概念, 合理地构造隶属函数是模糊数学应用的关键。由于模糊集合是人脑对客观事物的主观反映, 虽然有一定的统计规律性, 但实际上很难给出一个模糊集合其隶属函数的惟一表达式, 也没有一种统一的方法来构造隶属函数。,2. 模糊集的表示方法,模糊集合本质上是论域X到0, 1的函数, 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： 1. 序偶表示法 A=(x, A(x)|xX. 例如: 用集合X=x1, x2
7、, x3, x4表示某学生宿舍中的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集合A记为: A=(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56).,2. 向量表示法 当论域X=x1, x2, , xn时, X上的模糊集A可表示为向量 A=(A(x1), A(x2), ,A(xn). 前述的模糊集“帅哥”A可记为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). 这种向量的第个分量都在0与1之间A(xi)0,1,称之
8、为模糊向量。 3. Zadeh表示法 当论域X为有限集x1, x2, , xn时, X上的一个模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ +A(xn)/xn.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,前述的模糊集“帅哥”A可记为: A=0.55/x1+0.78/x2+0.91/x3+0.56/x4. 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表示分式求和运算, 而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。,2. 模糊集上的运算,1. 几点说明 如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集)。 设X为非空论
9、域, X上的全体模糊集记作F(X). 于是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合). 特别地, 空集的隶属函数恒为0, 集X的隶属函数恒为1, 即、X都是X上的模糊集。,2. 模糊集的包含关系,设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。,3. 模糊集的并,设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A与B的并(记作AB)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (AB)(x)=maxA(x), B(x)=A(x)B(x), xX.,(AB)(x),4. 模糊集的交
10、非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作AB)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 (AB)(x)=minA(x), B(x)=A(x)B(x), xX.,(AB)(x),5. 模糊集的补 非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或Ac)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为 A(x)=1A(x), xX.,注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形, 即对任意指标集I, 若Ai是X上的模糊集, iI. 则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:,糊集合的运算性质 模糊集合关于并、交、补运算具有以下性质: 定理 设X为论域, A, B, C为X上的模糊集合, 则 (1) 幂等律: AA=A, AA
11、=A; (2) 交换律: AB=BA, AB=BA; (3) 结合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (4) 吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A; (5) 分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);,(6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A; (8) De Morgan对偶律: (AB)=AB, (AB)=AB. 注：模糊集中互补律不成立。,3. 截集 定义 设AF(X), 0,1, 记 A=xX|A(x) 称A为A的截集。又记 A+=xX|A(x) 称A+为A的强
12、截集。 定义 设AF(X), 称A1=xX|A(x)=1为A的核, 记为kerA. 称A0+=xX|A(x)0为A的支集, 记为suppA. 称suppAkerA为A的边界。,数积(截积) 定义 设AF(X), 0,1, 与A的数积(截积A定义为： (A)(x)=A(x), xX. 即A仍为X上的模糊集。,4.模糊数的基本概念,定义 设A是实数集R上的模糊集, 即AF(R).如果A是正规的(即存在xR有A(x)=1), 且对任意(0,1, A是闭区间, 则称A是一个模糊数。若模糊数A的支集suppA有界, 则称A为有界模糊数。 定理 设AF(R). 则A为模糊数当且仅当存在实数ab使得: (1
13、) 在a, b上A(x)1; (2) 在(, a)上A(x)为右连续的增函数且0A(x)1, A(x)0 (x); (3) 在(b, )上A(x)为左连续的减函数且0A(x)1, A(x)0 (x).,a b,1,A(x),x,0,模糊数,有界模糊数,定义 设A, B为模糊数, 则定义其加、减、乘、除运算如下：zR, (A+B)(z)=x+y=z(A(x)B(y), (AB)(z)=xy=z(A(x)B(y), (AB)(z)=xy=z(A(x)B(y), (AB)(z)=xy=z(A(x)B(y).,设,在确定性数学中，最优化的一般形式可写成：,模型1,其中f是目标函数，A是约束条件或约束集
14、。,称M为f在A上的条件优越集 （conditional superiority set）.,一、 Fuzzy环境下的条件极值,记,因为在Fuuzy集上求极值，其优越集也应为Fuuzy集.,记,优越支集,Fuuzy极大值,(2)supp,定义 设 是 f 在A 上的优越集，使 达到最大值的x称为最优规划值,记做 ， 即,例1 设在某种食品中投放某种调味剂，当每单位 食品投放这类调味剂xg时，所增加的销售量与x的 关系为,考虑到成本、设备等因素，对该类调味剂应进行限制，且约束集A的边界是模糊的,试确定合适的剂量x，使得在约束条件可以接受的前提下，获得较好的销售量。,二、对称型Fuuzy规划,所谓
15、对称型Fuuzy规划，就是指在目标和约束具有同等重要的情况下，求最优化的问题。,f 的无条件优越集.,f 在x处取得最 大值的程度,设,模型2,或写成如下的无条件极值问题,设,模型2,模型4,模型4说明，对于Fuuzy约束A，f 在 水平 上的优化问题，即在确定性约束下的优化问题。,下图是对定义的几何描述,模型5,考虑Fuuzy集A上求f(x)的最大值问题。,例2 用对称型来解例1的问题.,目标函数,约束函数,多目标最优化问题,设,考虑向量函数,设,都在X上存在最大值与最小值。,且,令,其中g,h都是综合评判函数 .,模型6,其中,模型7,其中T是t-模.,可能性,综合程度,综合程度,三、非称型Fuuzy规划,如果把目标和约束看成不同等重要的，可以用 加权的方法。这就是所谓的非对称型Fuzzy规划， （unsymmetric fuzzy programming）。,区间数的序关系,15都是偏序关系，不是全序。,截区间,截区间,是偏序关系，定义,或,6是全序。,依中心大小比较,中心相等，依集合包含关系比较。,目标函数中含区间系数的线性规划问题。,其中X是x的可行域，系数,称为区
