第二章节微分方程模型幻灯片

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1、第二章 微分方程模型,利用微分方程解决的问题通常可以分为两类： （1）要求把未知变量直接表示为已知量的函数 （2）只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势 在实际问题中，体现为“增长”、“衰变”、“边际”等问题。,2-1 微分方程的定解 2-2 微分方程的建模步骤 2-3 微分方程建模实例,第二章 微分方程模型,2-1 微分方程的定解问题 一、基本概念 二、微分方程的定解问题 三、微分方程的平衡解与稳定性,一般地，n阶微分方程的形式是 或 若在区间I上存在具有n阶导数的函数 ，满足 则 称为微分方程的解。,一、基本概念 1、微分方程的解,微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且独

2、立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就称为微分方程的通解。 独立任意常数：指不能合并而使任意常数的个数减少。 微分方程的定解 确定微分方程的通解中任意常数后的微分方程的解。,一、基本概念 2、微分方程的通解与定解,1、一阶微分方程的定解问题 求微分方程 满足初始条件 的定解，称为一阶微分方程的定解问题。 记作 3、n阶微分方程的定解问题 2、二阶微分方程的定解问题 记作,二、微分方程的定解问题,1、平衡解 即微分方程不变化的解，也就是常数解。 一般地，一阶微分方程 （211） 右端不显含自变量t，代数方程 的实根 称为微分方程的平衡解。 例： 的解y=a，y=b都是该方程的平衡解 2

3、、平衡解的稳定性 如果从任意可能的初始条件出发，微分方程（2-1-1）的解x（t）都满足 则称平衡解x=x0是稳定的；否则称x=x0是不稳定的。,三、微分方程的平衡解与稳定性 1、平衡解含义 2、平衡解的稳定性定义,（1）求（2-1-1）的解，利用定义判断 （2）不求（2-1-1）的解，利用f（x）在x=x0处的展式 通解为 当 时， ，平衡解x=x0稳定 当 时， ，平衡解x=x0不稳定 例：捕鱼问题、湖水污染问题等,三、微分方程的平衡解与稳定性 3、判断方法,第二章 微分方程模型 2-1 微分方程的定解 2-2 微分方程的建模步骤 2-3 微分方程建模实例,2-2 微分方程的建模步骤 一、

4、引例 二、微分方程的建模步骤,一、引例人的体重变化问题 1、提出问题 2、分析问题,1、提出问题 （1）某人的摄入热量是2500Ca/天，其中1200Ca用于基本的新陈代谢 （2）健身训练中消耗是16Ca/天kg （3）以脂肪形式贮藏的热量100%地有效 （4）1kg脂肪含热量10000Ca 求此人的体重随时间变化的规律 2、分析问题 （1）将体重看成时间的连续函数 （2）体重的变化=输入-输出 =扣除基本新陈代谢之外的净吸收量-进行健身训练时的消耗,一、引例人的体重变化问题 3、建模 4、求解,3、建模 设人的体重为W（kg） 每天净吸收量=2500-1200=1300（Ca） 每天净输出=

5、16W（Ca） 每天体重变化 4、求解 设一天开始时的体重为W（0）=W0，解得人的体重随时间变化规律为：,二、微分方程的建模步骤,1、翻译或转化 根据实际问题给出的信息转化为导数问题。 （1）速率、增长、衰变、边际、改变、变化等都可以转化为导数问题 （2）很多问题遵循模式 “净变化率=输入率-输出率”,2、单位同一,微分方程模型中每一项都应该有相同的物理单位。,3、给定条件,关于所研究问题在某一特定时刻的信息，利用其确定微分方程解中的有关常数。,4、建立模型,寻找 之间的关系，建立微分方程模型。,第二章 微分方程模型,2-1 微分方程的定解 2-2 微分方程的建模步骤 2-3 微分方程建模实

6、例,2-3 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 三、捕鱼问题 四、飞机的降落曲线问题,微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 1、提出问题 2、分析问题,1、提出问题 设一只恶狼与一只兔子相遇,兔子位于恶狼正西 100m处。再假设它们同时互相发现了对方并同时起跑,兔子往正北方向60m处的巢穴逃窜, 恶狼追捕兔子。如果兔子和恶狼都作匀速跑动,且狼的速度是兔子速度的2倍, 那么问兔子能否逃脱恶狼的追捕? 2、分析问题 建立坐标系，如图所示。 设兔子的初始位置为坐标原点0,狼在x轴上点 A处,兔子的巢穴在 y 轴 上点 B，则有 （1）|OA|=100, |

7、OB|=60 （2）兔子的运动轨迹为沿y轴做匀速直线运动 （3）狼的运动轨迹则是一条连续曲线 （4）在任意一个相同的时刻,曲线上狼的位置与y轴上兔子的位置的连线恰好是曲线上该点处的切线,微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 3、建立模型,设狼的运动轨迹方程为y=f(x),则当兔子跑到点 N(0,h)时,狼在点M(x,y)处 , 由于狼的速度是兔子速度的2倍,所以在相同的时间内,狼跑的总路程也是兔子跑的总路程的 2 倍。因而有初始条件 （231） （232） 由直线的两点式方程以及弧长公式可得 （233） （234） 由式（233）得 ，代入到式（234）中,得,两边对 x 求导, 并运用公式

8、 得到恶狼捕食兔子的数学模型 （235）,微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 3、建立模型,（1）令 ， 则式（235）可以转化为 （2）运用分离变量法求解得 其中， 为常数。,微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 4、求解模型,（3） 又由 得,4.求解模型 （4）利用初始条件 得 （5）模型的解,即狼的运动轨迹方程为 5、解的讨论 由于 ,所以狼没有追上兔子,或者说兔子能够安全地 逃进它的巢穴中。 此模型还可以用来做描述导弹在追击某个做直线运动目标时的数学 模型。,微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 4、求解模型 5、解的讨论,2-3 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 二、

9、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 三、捕鱼问题 四、飞机的降落曲线问题,在现代城市自动化交通管理中，各交通路口都施行信号灯光管制。具体方法是在交通路口处设置了红、黄、绿灯，而在绿灯灭到红灯亮的过渡阶段，就要用黄灯来控制。黄灯点亮的时间少，会造成有些车辆因来不及停车而越过十字路口的停车线，但又由于红灯亮了而过不了十字路口，势必造成交通混乱；黄灯时间过长又会浪费时间，从而降低道路利用率，甚至造成交通堵塞。 这就需要建立一个黄灯点亮最佳时间的数学模型。,微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 1、问题的提出,正常行驶的车辆在十字路口附近突然看到前面黄灯亮了时，驾驶员首先要做出决定：是

10、停车还是继续行驶通过十字路口。 1、当决定停车时，必须有一定的刹车距离，以确保能使车辆来得及停在停车线以外。 2、当决定通过十字路口时，必须有足够的时间使他能够在红灯亮之前完全通过十字路口。 （1）驾驶员做出决定的时间 ( 反应时间 ) （2）车辆由刹车开始到停住车的时间 （3）车辆以法定最快的速度通过一个典型车身和路口宽度 (即十字路口处同一条路上两条停车线之间的距离)所需的时间。,微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 2、分析问题,3、量的分析 车辆行驶的时间t、速度v、行驶距离x 十字路口处同一条路上两条停车线间距离I 典型车辆车身长L、车辆全部重量(包括车身和载重)为

11、W 刹车时车辆与地面的摩擦系数 每次黄灯亮的时间T 4、模型假设 在公路上车辆都能正常行驶且遵守交通规则 在所考虑的街道上，车辆的法定最高行驶速度为 v0 车辆在十字路口附近行驶速度均为法定最高速度 黄灯亮时车辆通过十字路口的速度保持为v0 反应时间均为t0，车辆以速度v0行驶距离I+L所需时间为 t2 车辆按速度v0行驶时，开始刹车到车辆停止行进的时间为t1，同时所经过的路程为x0,微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 3、量的分析 4、模型假设,微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 5、符号意义说明,T 黄灯应亮时间 T1驾驶员反应时间 T2 汽车通过十

12、字路口时间 T3匀速驶过刹车距离的驾驶时间 v0 法定行驶速度 I十字路口长度 L 典型车身长度 m汽车质量 f 刹车摩擦系数 x（t）汽车行驶距离 t1刹车时间,T T1+ T2+ T3 （1） T1的计算 可以根据统计数据或经验得到，一般可以取为1秒。 （2） T2的计算 注：汽车尾部必须通过路口,微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 6、建模与求解 求T1、 T2,由牛顿第二定律，车辆在刹车过程中满足微分方程： （1）一次积分 (2-3-6) （2）x=0条件下，再积分一次 (2-3-7),微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 6、建模与求解 求T3,

13、（3）在刹车的最后v=0，所经过的时间t1 由（236）得 (2-3-8) （4）x（t1） (2-3-8)代入(2-3-7)得 （5）求T3,6、建模求解 黄灯亮的最佳时间 7、模型分析 T关于v0的曲线图如图 T*的求解：利用初等数学的公式，对于任意非负实数和 b，均有 可求得 T 的极值T*为,微分方程建模实例 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 6、建模与求解 求T 7、模型分析,2-3 微分方程建模实例 一、恶狼捕食兔子问题 二、自动化交通管理中黄灯运行状态问题 三、捕鱼问题 四、飞机的降落曲线问题,（一）、提出问题 考察一个渔场： （1）鱼量在天然环境下按一定规律增长 （2）捕鱼

14、越多，所获得的经济效益越大 （3）但捕捞的鱼过多，会造成鱼量的急剧下降而影响以后的捕鱼数量 。 目标：在鱼的总量保持稳定的条件下，控制捕捞使持续产量或经济效益 最大。 （二）、分析问题 （1）存在阻滞增长 （2）鱼的总量保持稳定，暗示着会用到平衡解稳定性的讨论。,微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （一）、提出问题 （二）、分析问题,（1）量的分析 x(t)时刻t渔场中鱼量 x0平衡解 r 鱼量的自然增长率 K捕捞率 xm渔场资源条件所限制的 鱼量最大值 ym最大捕捞量 （2）无捕捞情况 x(t)服从阻滞增长模型,则有,微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （三）、建模与求解 1、目标为鱼量稳定条件下捕

15、捞量最大,（3）有捕捞情况 假设条件：单位时间捕鱼量与渔场鱼量成正比 （239）,（4）平衡解讨论 令 得平衡解 （2-3-10） 对（239），令 得,（4）平衡解讨论 当 Kr 时， x0是不稳定的平衡解，需要改变捕捞方法以保证鱼量稳定 （5）捕捞系数K的选取 图解法讨论在保持鱼量稳定的条件下，如何选取捕捞系数K使捕捞量 最大。,微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （三）、建模与求解 1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大,（5）捕捞系数K的选取 令 由于f1（x）在原点的切线为y=rx，从而当Kr时， f1（x）与f2（x）必相交，其交点的横坐标即为x0，也就是当渔场内鱼量保持稳定时，曲线f1（x）与f2（x）必相交。 所有与抛物线f1（x）相交的直线中，过抛物线顶点的直线将得到最大捕捞量ym，此时稳定的平衡解为 代入 得,微分方程建模实例 三、捕鱼问题 （三）、建模与求解 1、目标为鱼量稳定条件下捕捞量最大,结论 控制捕捞率 , 即控制捕捞率使渔场内的鱼量保持在最大鱼量的一半时，就可在保持鱼量稳定的条件下使捕捞量最大。 最大捕捞量为,（1）量的分析 P鱼的单价 L捕捞利润 （2）假设条件 捕捞成本与捕捞率成正比，比例系数为c 封闭式捕捞，即只有一个垄断者进行捕捞 （3）建模求解