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1、第二课时 正射影和三垂线定理,课标研读 1理解点、斜线、斜线段在平面上的射影，图形在平面上的射影等概念；掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活应用 2重点是三垂线定理及其逆定理，难点是非标准位置的三垂线定理及其逆定理的应用,课前自主学习,温故夯基 1直线a平面的判定定理为mnO，m，n，am，ana. 2若ab，a，则_ 3若a，b，则_,b.,ab.,知新益能 1过一点向平面引_，_叫做这个点在这个平面内的射影这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的_ 2一条直线和一个平面_，但不和这个平面_时，这条直线就叫做这个平面的_，斜线和平面的交点叫_从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到
2、这个平面的_,垂线,垂足,垂线段,相交,垂直,斜线,斜足,斜线段,3在_的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的_垂直，那么它也和这条_垂直；反之，如果和这个平面的一条_垂直，那么它也和这条斜线的_垂直,平面内,射影,射影,斜线,斜线,问题探究 1从平面外同一点出发的斜线段在该平面内的射影长受斜线段长的影响吗？ 提示：受影响相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长，反之射影相等的斜线段相等，射影较长的斜线段也较长,2“三垂线定理”及“逆定理”中“平面内”这个条件能否省略？ 提示：两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明这是因为：由三垂线定理及其逆定理的证明过
3、程可知，只有平面内的直线若能满足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与垂线所在平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直,课堂互动讲练,图形在某个平面上的投影就是从图形上每个点向平面引垂线，垂足点所形成的图形一般是找图形各顶点的射影点,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方体的中心，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是_(要求：把可能的图的序号都填上) 【思路点拨】 找图形边界点的投影点，再连线,【解析】 由于A、C在下底面上的射影是它们各自本身，P在下底面上的射影是AC中点，故PAC在下底面上的射影是下底面对 角线AC.因此，图是可能的， 且PAC在上底面上的射影是 上底面对角线A1C
4、1也是图的 情形；而A在侧面BC1上的射影是B，P在侧面BC1上的射影是侧面BC1的中心，故图也是可能的同理，可知PAC在其他三个侧面上的射影也都是图的情形，于是图、是不可能的因此，所有可能的情形是图、图. 【答案】 ,【名师点评】 本题侧重于考查数学语言向图形语言的转化，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，去伪存真，它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题型改革较为成功的一种题型,三垂线定理及其逆定理主要用来证明线线垂直时省去其中线面垂直的过程 从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直、证明异面直线垂直的问题，逆定理相反 利用三垂线定理及其逆定理的关键
5、是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”“斜线的射影”,(2010年高考陕西卷改编)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2 ，E、F分别是AD、PC的中点 证明：PC平面BEF. 【思路点拨】 结合量的计算寻找PCBF、PCBE.,【证明】 PA平面ABCD， PAAB， PAAB2 PB2 . PBBC. 又F为PC的中点， BFPC. 连结AC.设ACBEG， AC为PC在平面ABCD上的射影,【思维总结】 运用三垂线定理及逆定理，其关键是准确识别或作出构成定理的五个元素,在本例中，求证：BCPB、CDPD. 证明：PA面ABCD.
6、 AB为PB在面ABCD上的射影， BC面ABCD且BCAB， BCPB， 同理可证CDPD.,平面外一点向平面引垂线，这点与垂足之间的长度是这点到平面的距离，一般转化为直角三角形的直角边来求 已知P为ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，PAPBPCa，求点P到平面ABC的距离 【思路点拨】 欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长,【解】 过P作PO平面ABC于O点，连结AO，BO，CO， POOA，POOB，POOC， PAPBPCa， PAOPBOPCO， OAOBOC， O为ABC的外心,【思维总结】 求点到平面的距离较常用的方法有两种：(1)作出垂线段，求垂
7、线段的长度；(2)求出几何体的体积，利用等积法转化成求点到平面的距离,错误运用三垂线定理或逆定理条件 在长方体ABCDA1B1C1D1中，D1DDC，判定对角线BD1和B1D是否一定垂直，请说明理由,思维误区警示,【错解】 连结C1D，D1C， B1C1面CDD1C1， C1D为B1D在平面CDD1C1上的射影 D1DDC，D1CC1D，D1CB1D. 又D1C为BD1在平面CDD1C1的射影，B1DBD1. 【错因】 B1DD1C，虽然D1C是斜线BD1在面CDD1C1上的射影，但B1D面CDD1C1，用错三垂线定理 【自我挑战】 在长方体中，体对角线不一定垂直要使B1DBD1，必须有BB1
8、BD.,1准确认识三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理及其逆定理是解、证与线线(面)垂直有关问题的重要而有效的工具，三垂线定理的基本要素是“一面四线”，一面：基础平面；四线：斜线、垂线、射影、面内直线,规律方法总结,(2)应用三垂线定理及其逆定理解题通常要遵循的“三步曲”： 定“线面”：确定一个基础平面和这个平面内的一条直线； 找“三线”：找这个平面的一条垂线、一条斜线及这条斜线在这个平面内的射影； 证“垂直”：证明平面内的这条直线与斜线或斜线在平面内的射影垂直,2三垂线定理及其逆定理的区别 三垂线定理是先有平面内的直线a垂直于射影的条件，然后得出a垂直于斜线的结论而逆定理则是已知平面内的直
9、线垂直于斜线，再推出平面内的直线垂直于射影，即三垂线定理是“线与射影垂直线与斜线垂直”，逆定理正好相反，在引用时注意不要混淆,1(2010年长春调研)下面有四个命题： (1)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(3)垂线段比任何一条线段都短；(4)斜线在平面内的射影可能是一条直线，也可能是一个点其中正确的命题有( ) A0个 B1个 C3个 D4个,随堂即时巩固,解析：选A.(1)、(2)、(3)均不正确垂线段和斜线段长定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一点引出的，离开了这个前提，结论就不成立(4)也不对，斜线在平面内
10、的射影必为直线，只有点或垂线在平面内的射影才是点故本题应选A.,2ABC在平面内，点P在平面外，PO于O，且P到A、B、C的距离相等，则O为ABC的( ) A外心 B内心 C垂心 D重心 解析：选A.由PO于O，知AO、BO、CO分别为斜线段PA、PB、PC在平面内的射影，又PAPBPC，所以AOBOCO，即O为ABC的外心,3(2010年吉林高二统考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1A、AB上的点，若NMC190，那么NMB1的大小是( ) A小于90 B等于90 C大于90 D不能确定 解析：选B.由已知C1M是平面ABB1A1的斜线，而C1B1平面ABB1A1，所以MB1是斜线C1M在平面ABB1A1内的射影，又NMC190，即C1MMN，由三垂线定理的逆定理知MB1MN，所以NMB190.,4如图所示，在ABC中，ABC90，SA平面ABC，则CA、CB、CS在平面SAB上的射影依次是_ 答案：AB、点B、SB,课时活页训练,
