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1、第二章 线性系统运动分析,定量分析:研究系统对一些典型输入讯号的响应，即系统求解问题 定性分析:主要研究系统的基本性质，如能控性、能观性、稳定性等,2.1 线性定常状态方程的齐次解,一、齐次微分方程的求解 二、状态方程的齐次解 三、拉氏变换法求解状态方程,一、齐次微分方程的求解,例：已知 ，求其解。 解：设其解为 由于同幂次项系数相等,一、齐次微分方程的求解,又 ，代入上式得 可得齐次方程的解,二、状态方程的齐次解,已知状态方程 ，初始状态为 ，仿照上例，设状态方程的解为 可得其解为 定义矩阵指数函数 ，显然eAt是一个 n*n矩阵，则状态方程齐次解为,三、拉氏变换法求解状态方程,对于 ，做拉
2、氏变换有 sX(s)-x0=AX(s) X(s)=(sI-A)-1x0 拉氏变换得到时域解 其中（级数展开）,三、拉氏变换法求解状态方程,所以 时域解为 由解的唯一性有,2.1.2 矩阵指数函数性质,1、eA(t+s)=eAteAs 证明：,2.2 状态转移矩阵,2.2.1 自由运动、强迫运动 2.2.2 状态转移矩阵 2.2.3 线性定常系统状态方程的解,2.2.1 自由运动、强迫运动,一、自由运动 所谓自由运动，指在输入为零及初始状态不为0 时，系统的运动规律。即状态方程的解，也称为零输入响应。 二、强迫运动 指系统在输入激励下的强迫运动。此时，初始状态可为0，也可不为0。,2.2.2 状
3、态转移矩阵,一、状态转移矩阵 二、状态转移矩阵的物理意义 三、状态转移矩阵的性质,一、状态转移矩阵,齐次线性定常状态方程 的解为 是一个与矩阵A同阶的矩阵，且 考虑等价变换，可以把 视为一个变换矩阵，把状态矢量x(0)变换为另一状态矢量x(t)。那么，我们把称为状态转移矩阵，表示为（t-t0）。,二、状态转移矩阵的物理意义,1）系统在t0时刻的任何状态，通过（t-t0）的作用，转移到t时刻的状态； 2）（t-t0）可视为一种线性算子，把状态空间中t0时刻的状态，映射为解空间中t时刻的状态； 3）把系统自由运动的一般解表为状态转移矩阵的形式，有着重要而普遍的意义。,三、状态转移矩阵的性质,1、传
4、递性（组合性） （t2-t1）（t1-t0）=（t2-t0） 证明：状态矢量x(t0)先转移至t1，在转移至t2。由定义可知 如果状态矢量x(t0)直接转移至t2，则有 由解的唯一性 （t2-t1）（t1-t0）=（t2-t0）,三、状态转移矩阵的性质,2、分解性 （t1+t2）=（t1）（t2）=（t2）（t1） 证明： （t1+t2）= =（t1）（t2） （t1+t2）= =（t2）（t1）,三、状态转移矩阵的性质,3、时不变性 (0)=eA0=I 证明： 4、可逆性 (t) -1= (-t)， (eAt)-1=e-At 证明：,三、状态转移矩阵的性质,5、倍时性， (t) k= (kt
5、) 6、交换性，AB=BA，则 (A+B)t)= e(A+B)t=eAteBt=eBteAt 7、微分性 8、eA(t+s)=eAseAt,2.1.3 矩阵指数函数的计算,一、按照定义计算 二、按照（sI-A）-1的反拉氏变换计算 三、利用对角型、约当型计算,一、按照定义计算,参加计算的项数已达到足够精度为准。 例：已知系统矩阵 ，试求eAt。 解：由定义可知,二、按照（sI-A）-1的反拉氏变换计算,例：同上例。 解： ( 同上例的结果一样),三、利用对角型、约当型计算,如系统具有互不相同的特征值，按变换 ，可把系统化为对角线标准型 。所以， ，以此代入 定义式,三、利用对角型、约当型计算,例：同上例。 解：|I-A|=(s+1)(s+2) 相应的特征矢量为,三、利用对角型、约当型计算,若A具有重特征值时，计算原理与对角型相同，不同的是 其中 为m*m约当块，i=1,2,l。 则,三、利用对角型、约当型计算,其中,三、利用对角型、约当型计算,例：设 ，试求 。 解： 得1=2=1，3=2，求得变换阵为 则,三、利用对角型、约当型计算,因此,2.2.3线性定常系统状态方程解,已知 ，则 两边左乘 积分得,2.2.3线性定常系统状态方程解,例：已知系统矩阵 ， ， ，求系统在单位阶跃信号作用下的强迫运动。 解：由前例,
