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1、恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：af(x)恒成立,只须求出f(x)max ,则af(x)max ;若af(x)恒成立, 只须求出f(x)min ,则af(x)min转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)=ln(x+ax-2) ,若任意x2 ,+)
2、恒有f(x)0,试确定a的取值范围.解:根据题意得,x+ax21在x2 ,+)上恒成立,即ax2+3x在x2 ,+)上恒成立.设f(x)=-x2+3x .则f(x)=(x-32)2+94 ,当x=2时, f(x)max=2 ,所以a22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)g(x)max .然后解不等式求出参数a的取值范围; :若f(a)g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)g(x)min .然后解不等式求出参数a的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x(
3、,1时,不等式1+2x+(aa2)4x0恒成立,求a的取值范围.解 令 2x=t ,x( ,1 t(0 ,2.所以原不等式可化为a2-at+1t2 ,要使上式在t(0 ,2上恒成立,只须求出f(t)= t+1t2在t(0 ,2上的最小值即可.f(t)= t+1t2=(1t)2+1t=(1t+12)214 又t(0 ,2 1t12 ,+) f(x)min=f(2)=34 a2-a34 , 12a32例3 设且恒成立，求实数m的取值范围。 解析：由于，所以，于是恒成立，因 （当且仅当时取等号），故。二、数形结合直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思
4、想，直观地反应出参数的变化范围。例4 设，对于任意正整数k，直线与恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。 解析：作出在区间上的图像，由图像知，直线只能绕原点O从x正半轴旋转到过点的范围，直线AO的斜率为于是实数a的取值范围是xyo12y1=(x-1)2y2=logax例5、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2
5、的函数值大于等于y1的函数值。故loga21,a1,12p+x恒成立的x的取值范围.分析:在不等式出现了两个字母x及p,关键在于把哪个字母看成一个变量.另一个作为常数.显然可将p视作自变量,则上述问题可转化为在-2 ,2内关于p的一次函数大于0恒成立问题.解:原不等式可化为(x1)p+x22x+10 .设f(p)= (x1)p+x22x+1,则 f(p)在2 ,2 上恒大于0,故有f(-2)0f(2)0 即x2-4x+30x2-10 解得x3或x1或x-1 例8对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围。 解析：不等式不等式即对于恒成立。 记，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间1，1内恒为正
6、的x应满足的条件。 由得 或 故实数x的取值范围是 恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上三种常见方法，其实质是一种等价转化的思想，可见，只要我们在解题中善于归纳和总结，就一定会积累更多的经验和方法，从而更好地提高我们的解题能力。四、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1对恒成立; 2对恒成立 例9已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的取值范围为。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例10设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立当时
7、，显然成立；Oxyx-1当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值范围为。五、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。（1） 当即：时， 又所以不存在；（2） 当即：时， 又 （3） 当 即：时， 又综上所得：六、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。例5、当时，恒成立，求实数的取值范围。解：（1） 当时，则问题转化为 （2）
8、当时，则问题转化为综上所得：或易混题、能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.例1、已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_（答：）例2、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或例3、已知函数，. 若，且存在单调递减区间，求a的取值范围； 分析及解只研究第（I）问.，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是 ,而在上有解,就等价于在区间能成立,即, 成立, 进而等价于成立,其中.由得,.于是,由
9、题设,所以a的取值范围是例4、不等式有解，求的取值范围。解：不等式有解有解有解，所以。例5、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为，求集合解：由又有解，所以令恒成立所以、恰好成立例6、已知当的值域是,试求实数的值.（最值法）.第(问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时, ,与其值域是矛盾,当时, 是上的增函数,所以,的最小值为,令,即例7、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x-3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x-3，3，使f（x)g(x)
10、成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2-3，3，都有f（x1)g(x2)，求k的取值范围。解析：（最值法）（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x-3，3时，h(x)0恒成立，故h(x)0.令h (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2。由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h(x)=-45+k，由k-450，得k45.（2）据题意：存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)0在x-3，3有解，故h(x)0，由（1）知h（x）=k+7，于是得k-7。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2-3，3，都有f（x1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在-3，3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：，由g(x)=6x2+10x+4=0，得x=-或-1，易得，又f(x)=8(x+1)2-8-k，. 故令120-k-21，得k141。点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。
