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1、用傅里叶变换解偏微分方程,一、傅里叶变换 二、偏微分方程 三、方程的求解,一、傅里叶变换,1.傅里叶级数 2.积分变换 3.傅里叶变换 4.离散傅里叶变换 5.快速傅里叶变换（FFT）,傅里叶级数,傅里叶级数形式,an和bn称为f(x)的傅里叶系数,傅里叶级数,一般意义下： 假设 f (x) 是定义在 (-,+) 内的实函数，它在任一有限区间l,+l内是分段光滑的 ,则 f (x) 可以展开为傅里叶级数：,积分变换,对于一般的积分变换，我们有如下定义：令 I 为一实数集，K(s,w)是定义在 I a,b上的函数，如果函数 f (w) 满足： (1)在a,b上有定义； (2)对每个sI, K(s
2、,w)f(w)作为wa,b的函数是可积的。 则带有参变量的积分 就定义了一个“从 f (w) 到 F(s) ”的变换。这种通过积分运算把一个函数变为另一个函数的方法称为积分变换。,积分变换,每给定一个函数 K(s, w) 就确定了一个积分变换，因此积分变换是由函数 K(s, w) 生成的。通常称 K(s, w) 为（积分变换的）核函数，称参与变换的 f (w) 为初始函数或者原象函数，把变换成的 F(s) 称为变换函数或者象函数。积分变换是作用是把初始函数变成另一类比较容易求解的象函数，因此用积分变换求解偏微分方程的方法与我们 采用对数来计算数的乘、除、乘方和开方的技巧是完全类似的。,傅里叶变
3、换,傅里叶变换,傅里叶逆变换,由傅里叶级数推导出傅里叶积分，再推导出傅里叶变换，过程如下,傅里叶变换,将上两式代入前式，并利用三角恒等式：,可以得到,傅里叶变换,现在假定 f (x) 在 (,+) 内绝对可积，那么当 l + 时，就有：,上述积分的极限为：,令,以及,当 时，,我们把上述积分表达式称之为傅里叶积分。,傅里叶变换,傅里叶积分的两种形式： 一种是 另一种是,傅里叶变换,引进新函数：,便可以得出：,傅里叶变换,(1)线性性质。假定 a 、b为任意两个实数,函数 f1(x) 、f 2 (x) 满足傅里叶变换条件，则有：,(2)卷积性质。假定函数 f1(x) 、f 2 (x) 满足傅里叶
4、变换条件，则称函数,称为 f1(x) 和 f 2 (x) 卷积,如果 f1(x) 、f 2 (x) 和 f1 * f 2 均满足傅里叶变换条件，那么就有：,傅里叶变换,(3)微商性质。如果 和 均满足傅里叶变换条件，而且当|x|+时f(x)0，那么： 进一步，如果 满足傅里叶变换条件，就有：,二、偏微分方程,1.什么是偏微分方程 2.定解条件与定解问题 3.二阶线性偏微分,偏微分方程的概念,偏微分方程是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。 偏微分方程的一般形式：,偏微分方程的分类,如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且它们的系数都是仅依赖于自变量的已知函数，则这样
5、的偏微分方程称为线性偏微分方程。 对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。,偏微分方程的例子,定解条件,常见的定解条件，可分为初始条件与边界条件。,定解条件,定解条件,定解条件,定解问题,一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具体问题的完整描述，称为定解问题。,二阶线性偏微分,表达式为： 其中A,B,C为参数并且取决于x,y。如果在xy平面上有 ，该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。可变形为： 该二阶偏微分方程可分类为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程，起分类方式为： :椭圆方程； :抛物线方程； :双曲线方程。,三、傅里叶变换解偏微分,
6、1.热传导问题 2.波动问题 3.基本步骤,热传导问题,一维的齐次热传导方程柯西问题,热传导问题,（一）将t视为参数，对（1）（2）两式两端进行对于x的傅里叶变换： 记 ,则有,热传导问题,（微分性质）,热传导问题,（二）解（3）（4）式合并后带有参数w的的常微 分方程的初值问题，得,热传导问题,（三）利用对w的傅里叶逆变换，来求原函数 （5）式的左端： 右端：,热传导问题,考虑（5）的右端： 由于 故只考虑 ，而,热传导问题,卷积性质,所以解为,波动问题,由于时间问题，此问题是从网上照抄下来的，没有自己打。,基本步骤,一般化用傅里叶变换求解偏微分方程的 4 个基本步骤： （1）选用偏微分方程中某个适当的自变量作积分变量，对方程作傅里叶变换，将方程中的自变 量消去一个，化原方程为带参数的常微分方程 （2）对定解条件作傅里叶变换，导出常微 分方程的初始条件； （3）解此常微分方程的定解问题，得到原未知函数的傅里叶变换式； （4）对该式进行逆傅里叶变换，最后求得原问题的解。,
