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1、关于优选法教材中对分数法的几点思考人教A版选修4-7的内容是优选法与试验设计初步.在实践中的许多情况下，试验结果与因素的关系，要么很难用数学形式来表达，要么表达式很复杂，优选法与试验设计是解决这类问题的常用数学方法简单地说，优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数学方法试验设计也是一种数学方法，一般说来，它是考虑在多因素情况下安排试验的方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的设计方案人们在做试验时，每个人都有自己的经验，但往往带有盲目性有时试验次数较少，有的试验次数较多，有时却长时间找不到结果优选法是从实践中总结和提高得来的，可以帮助我们以尽可能少的试验次数，迅
2、速选定最佳方案，其目的是为了防止盲目性，防止最差效果。优选法的重点和难点是0.618法和分数法，而分数法是在0.618法的基础上形成的，是用渐进分数代替确定试点的方法, 它可以解决0.618法不能解决的问题.下面对以下4个方面进行思考可以帮助我们理解分数法一、怎样理解随着n的增大,数列的项越来越趋向于？由于，对，有递推公式 根据数列的这个定义，有=即有 （1）类似地计算，又有 （2）因此， ， （3）于是 （4）因为所以，由（3）和（4）知道存在现在证明这个极限便是事实上，从看出，记时，适合方程 即解方程知 由（4）知道不仅如此，还有 （5）这说明随着增大会越来越接近于二、分数法能解决哪几类优
3、选问题？有时碰到试验点只能取整数的情况例如，某单位在配制某种清洗液时，要优选某材料的加入量，其加入量用150ml（毫升）的量杯来计量，该量杯的整个量程分为15格，每格代表10ml由于量杯是锥形的，所以，每格的高度不等，很难量出几ml或者是几点几ml，因此不便于用0.618法在这种情况下，就可以采用分数法工人在实践中得知某含量的加入量大于130ml以上时肯定不好，因此试验范围就定为0130ml中间正好是13格，就可以用来代0.168，第一个试验在80ml处以后则用加两头减中间的方法做，这样做几次试验后，就能找到满意的结果 当然，分数法的好处不仅在于此，例如，由于某种条件的限制，只能做几次实验，在
4、这种情况下，采用分数法较好如果只能做一次试验就用，其精确度，即这一点与实际最佳点的最大可能距离为如果只能做二次试验，则用，第一次在处做试验；第二次在处做试验，其精确度为如果能做三次试验，则可用，其精确度为做次试验就用，其精确度为式中为1，2，3，5，8，13，21，又如，试验范围是一些不连续的、间隔不等的点组成，试验点只能取某些特定数时只能采用分数法例如在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有几种阻值不等的电阻，如果阻值为,等七种如果用0.618法，则计算出来的电阻，调试者手里可能没有这时我们可以先把这些电阻由小到大，顺序排列：阻值：,排列：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7
5、）这样，就把阻值优选变为排列序号的优选，问题就好办了做试验时，可在两端增加虚点（0）、（8），然后在08之间运用分数法，并用代替0.618，做第一次试验，取第五个电阻即，第二次用第三个电阻即这样按分数法做下去，就可以较快地找到较好的点有时试验范围中的份数不够分数中的分母数，例如10份，这时可以用两种方法来解决，一种是分析一下能否缩短试验范围，如能缩短两份，则可应用，如果不能缩短，就可以用第第二种办法，即添几个数，凑足13份，应用三、分数法与0.618法有哪些区别？分数法与0.618法的本质是相同的,两者的区别在于第1个试点的确定不同对区间0，1而言，0.618法选择的第一个试点为，而分数法选择
6、的第一个试点为，后续的步聚都是相同的，从第2个点开始，两个方法都是用“加两头，减中间”来选取另外,分数法解决的问题，与0.618法稍有不同，0.618法是做下去看，达到要求即告结束，而分数法是预先给定试验次数，并且在试验范围内划出一些分点，目的是通过这几次试验，找出最好的分点。我们认定在试验范围内划分点时,是均匀划分的,至于不是均匀划分的情况,我们可以把分点依次编号,然后就分点的序号作均匀安排.分数法与0.618法应用范围也不一样，应付不同情况采用不同方法.对于因数范围由一些不连续、间隔不等的点组成,允许优选的点的位置已经划出的情况，要用分数法，而一般情况，则用0.618法.另外两者在精确度方
7、面也有区别，通过n次试验后，0.618法的精确度为0.618n-1 ,而分数法的精确度为.四、怎样理解在给定试验次数n的前提下，只有分数法的取点方法效果是最好的 ？定理（）对于任意给定的正整数，我们从区间（0，1）中的第一个试验点开始，用“加两头、减中间”的来回调试法作次试验后所得的小区间中已试点的精确度为（）如果出发点不是，也不是其对称点，或虽然但以后的取点法不完全按照“加两头，减中间”的方法，那末，经过次试验后得的小区间中已试点的精确度必大于证明：（1）当时这时只有一个试验点，区间（0，1）也并未缩小，所以就是前述的，而与区间（0，1）的端点0，1的较大距离就是的精确度（）在（0，1）中取
8、试验点，则其精确度为，即（）若所取的，显见它的精确度所以当时定理成立（2）设当时定理成立，下面考虑的情况：在（0，1）中取第一试验点，再用“加两头、减中间”的办法取第二试验点由于这两点对称，不妨设比较这两次试验后区间缩短为，在其中的处已作了试验对于新区间，还能作次试验再注意在其中处已作过一次试验，并且这个点处于新区间的处，所以，可以对新区间引用时的归纳法假设（改变长度单位来看即可），因而知道，再用“加两头、减中间”的来回调试法作次试验（加上在处已作的1次共为次），可以使最后小区间中的已试的精确度达到新区间长度的再回到原区间（0，1）来看，的精确度就是，而试验的总次数是（加上处的1次）次（）以下
9、考虑其他取点情况由于在来回调试法中最初取的两个试验点其作用是平等，我们不妨把其中较大的一个看作是，即以下设（）如果所取的而，再分两种情况来看（）若如图由于我们所谈论的取点方法必须是能适用于上全体单峰函数的，所以，它会遇到那些适合的函数对于这样的函数，作完前两次试验缩短后的区间是，其长度，并且在其中的处已作过试验.对于这个新区间，还能再作次试验，加上处的1次共为次.由归纳假设可知（改变长度单位来看），无论后面的次试验点如何取法，最后所得小区间中已试点的精确度不小于新区间长度的。回到原区间来看，就是：如果而,那末对于那些适合的单峰函数而言，无论以后的个试验点如何取法，最后所取得小区间中的已试点的精
10、确度不小于。若如图所示，考虑那些适合的函数，对于这样的函数，作完前两次试验缩短后的区间是，其长度，并且在其中的处已作过试验.对于这个新区间，还能再作次试验，加上处的1次共为次.但由于，对于新区间而言，就是已试点大于新区间中的位置.所以由归纳假设可知，无论以后的个试验点如何取法，最后所得小区间中已试点的精确度都大于新区间长度的.回到原区间来看，就是：如果而，那末，对于适合的单峰函数而言，无论以后的个试验点如何取法，最后所得小区间中的已试点的精确度大于.。如果所取的.因为所取的，所以，对于那些适合的函数来说，作完前两次试验缩短后的区间是，其长度，并且其中点已作过试验.在新区间中还能再作次试验，连同
11、处已作的1次共为次.由归纳假设可知，无论以后的个试验点如何取法，最后所得小区间中已试点的精确度不小于新区间长度的，也就是不小于.如果所取的.因为，所以，对于那些适合 （）的单峰函数而言，经两次试验后缩短的区间为，在其中处已作过试验.若，就是，其.若再按所取的的位置分情况讨论：如果.在适合（）的单峰函峰中，有些是适合的.对于这样的函数，在处作完第三次试验后所得的区间是，其长度，在其中有一个已试点.在中还能再作次试验，连同处的一次共为次.由归纳假设（作次试验的情况）可知，无论后来的个试验点如何取法，最后所得的小区间中已试点的精确度不小于.（）如果.在适合（）的单峰函数中，有些是适合的.对于这样的函
12、数，在处作完第三次试验后所得的区间的，其长度，在其中有一个已试点.在中还能再作次试验，连同处的一次共为次.由归纳假设（作次试验的情况）可知无论后来的个试验点如何取法，最后所得的小区间中已试点的精确度不小于区间长度的，也就是不小于.如果所取的并且，但以后的取点法不完全按照“加两头、减中间”的方法.这时，可以仿照上面的论证证明.综合起来看，在、中最后所得的精确度都不如在中的好.所以当时定理也成立.由（1）、（3）即知定理对任何都成立（定理证完）.总之,分数法是优选法中一种非常重要的方法,教师在教学中不但要强调优选法的应用背景，也要力求讲理，讲数学的思想方法，强调其数学本质,使学生理解分数法的合理性及与其他方法的内在联系,让学生不仅要“知其然”，更要“知其所以然”湖南省长沙市第一中学 赵意扬
