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1、2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1（5分）（2015湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A1+iB1iC1+iD1i2（5分）（2015湖南）设A、B是两个集合，则“AB=A”是“AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）（2015湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）ABCD4（5分）（2015湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3xy的最小值为（）A7B1C1D25（5分）（2015湖南）设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是（）A奇函数，且
2、在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数6（5分）（2015湖南）已知（）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）ABC6D67（5分）（2015湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若XN=（，a2），则P（X+）=0.6826p（2X+2）=0.9544A2386B2718C3413D47728（5分）（2015湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则|的最大值为
3、（）A6B7C8D99（5分）（2015湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）ABCD10（5分）（2015湖南） 某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）ABCD二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2015湖南）（x1）dx=12（5分）（2015湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动
4、员成绩由好到差编号为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是13（5分）（2015湖南）设F是双曲线C：=1的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为14（5分）（2015湖南）设Sn为等比数列an的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an=15（5分）（2015湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）b有两个零点，则a的取值范围是三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16（6分）（20
5、15湖南）如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）MEN+NOM=180（2）FEFN=FMFO选修4-4：坐标系与方程17（6分）（2015湖南）已知直线l：（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为=2cos（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值选修4-5：不等式选讲18（2015湖南）设a0，b0，且a+b=+证明：（）a+b2；（）a2+a2与b2+b2不可能同时成立19（2015湖南）设ABC的内角
6、A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范围20（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望21（2015湖南）如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA
7、1=6，且AA1底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上（1）若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；（2）若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积22（13分）（2015湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（ab0）的一个焦点C1与C2的公共弦长为2（）求C2的方程；（）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向（）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形23（13分）（2015湖南）已知a0，函数f（x）=eaxsinx
8、（x0，+）记xn为f（x）的从小到大的第n（nN*）个极值点证明：（）数列f（xn）是等比数列；（）若a，则对一切nN*，xn|f（xn）|恒成立2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1（5分）（2015湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值【解答】解：已知=1+i（i为虚数单位），z=1i，故选：D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题2（
9、5分）（2015湖南）设A、B是两个集合，则“AB=A”是“AB”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】集合；简易逻辑【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可【解答】解：A、B是两个集合，则“AB=A”可得“AB”，“AB”，可得“AB=A”所以A、B是两个集合，则“AB=A”是“AB”的充要条件故选：C【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用3（5分）（2015湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）ABCD【考点】程
10、序框图菁优网版权所有【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力4（5分）（2015湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3xy的最小值为（）A7B1C1D2【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如
11、图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，1）由解得A（2，1），由，解得B（1，1）z=3xy的最小值为3（2）1=7故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题易错点是图形中的B点5（5分）（2015湖南）设函数f（x）=ln（1+x）ln（1x），则f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数f
12、（x）=ln（1+x）ln（1x），函数的定义域为（1，1），函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函数是奇函数排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）ln（1）=ln31，显然f（0）f（），函数是增函数，所以B错误，A正确故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力6（5分）（2015湖南）已知（）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）ABC6D6【考点】二项式定理的应用菁优网版权所有【专题】二项式定理【分析】根据所给的二项式，
13、利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=；展开式中含x的项的系数为30，r=1，并且，解得a=6故选：D【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具7（5分）（2015湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若XN=（，a2），则P（X+）=0.6826p（2X+2）=0.9544A2386B2718C3413D4772【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有【专题】计算题；概率与统计【分析】求出P（0X1）=0.6826=0.3413，即可得出结论【解答】解：由题意P（0X1）=0.6826=0.3413，落入阴影部分点的个数的估计值为100000.3413=3413，故选：C【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题8（5分）（2015湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则
