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1、第十章重积分97y2D2-1OiT-2图 10 - 1数，故/, = Jj( x2 + y1) 3d(j = 2jj( x2 + y1) 3dcr.fhi)i又由于d3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故 jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2 + y2 ) 3 da = 2/2.Dy1)：从而得/, = 4/2.(2) 利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) ,PJjf/(x,y)da = 0；D如果积分区域D关于：k轴对称，而被积函数/(x
2、，y)关于：c是奇函数，即/( x,y) = -/(太，y)，则= 0.D3.利用二重积分定义证明：(1 ) jj da =(其中(7为的面积)；IJ(2) JJ/c/( X ,y) drr = Aj|y( a:，y) do(其中 A：为常数)；on(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，A 为两个I)blh尤公共内点的WK域.证(丨)由于被枳函数./U,y) = 1 ,故山二t积分定义得njjltr = Hm y/( ,rji) A= x,y) |0xl,0j2；it(4) / = J(x2
3、+ 4y2 +9)do，其中 D = x,y) x2 + y2 4 |.I)解 (1)在积分区域D上，0矣;上有0矣;t2 +y2苳4,所以有9 + 4r2 +9 4( x2 + y2) + 9矣25.34 I)的酣枳等于4tt，W此36 tt (x2 +4/ + 9) (Ur lOO-ir.二重积分的计算法.1.计算下列二甩积分:第十章重积分101(2) l是顶点分别为( 0 .0 j (文3 + 3.r2 v +、)ch.+ x y + v jcdi(4) l)可用不等式表示为0 V A： ,0 .t 7T.于是|a:cos(jc + y) da = Icos(.v + v ) d i s
4、in (.t + y) q() = J v( sin 2.v - sin .v ) 1 x x( cos .v 丄(.，s 2.v)卜(1X(-TTrTXcos .v - rusTT.& 2. _出枳分ix:域，斤i卜r): v列m分:(1) Jdo，其中/)是由两条抛物线7 = v,y = *2所围成的闭区域；D(2) jfxy2dcr,其中D是由圆周x2 + J2 = 4及y轴所围成的右半闭区域；I)( 3 ) JV + dcr，其中 /) = I (%，)| | A； | + | J | 1 !；D(4) |U2 +/ -x)1= (x,y)-x- yJc + 1,-1 a;0|,I)2
5、 = (x ,y) |*-1+因此Ea3.如果二重积分|/( .r,y)心办的被积函数/( x，v)是两个函数/ ( O及)的乘n积，即/(X，y) = f(x) ./“y)，积分区域/) = (.V, y) I (1 V /, r ,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即|*/|U) -/2(r) flatly = J/, (.v)(l.v - /：( )v-证Jj./1 ( x ) .,2 ( / ) dvd V J f J ( v) ./： t lx*在上式右端的第一次单枳分f/, (.V) /2 (.V) d v中,./, ( A.) 1J fu t变招:、无关，nn见为 常数提到积
6、分5外，W此上式“端笏T而在这个积分中，由于f/2 (y) d y为常数，故又可提到积分号外，从而得到 f2是:(1) 由直线及抛物线y2 =4x所围成的闭区域；(2) 由x轴及半圆周/ +y2 =r2(y英0)所围成的闭区域；(3) 由直线y =x，；c = 2及双曲线：k = -(*0)所围成的闭区域；X(4) 环形闭区域 IU，y) | 1+y24(.解(1)直线y=x及抛物线y2 =4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是fix/ = j dy/(*，y)tk.f(x,y)dy,(2) 将/)用不等式表示fyOyr2 -x2，- r W /，于是可将/化为如下的先 对y
7、、后对*的二次积分：r/ = J (1文Jf(x ,y)(y；如将0叫不等式表示为Vr2 -y2xVr2 - y2 ,0各/，则可将/化为如卜的 先对*、后对y的二次枳分：第十章重积分105drx,y) dx.(3)如图 10-7.:条边界曲线两两相交，先求得3个交点为(1 ,1 )，2,y和(2,2).于是dy (i_/(,y)+ tlj /( x ,y) dx.| dxjf(x,y)dy.注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线 的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由个 方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先 对y、后对的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳 分次序则需计算两个二次积分.需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U , y)的特点.具体例子n见教 材下册第144页上的例2.dx /4Jx yy)dy + d.vl(1%/T/(A：,y)clr + d.vl y a -x2/(.r,v)d -f /(.v Vv)
