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1、小学数学奥数教练员等级考试,培训讲座,下一页,第五讲：历届真题选讲,例1：（2001.16）红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底是正方形的盒内，它们之间部分重叠（如图），已知看得见的部分中，红色纸片的面积是20，黄色纸片的面积是14，绿色纸片的面积是10，求正方形盒底的面积。,上一页,下一页,解：如图（）所示的阴影部分面积为：,把黄纸片向左移至最左端（如图(2)所示）,则 红：绿黄：A,所以 A12/20*12=7.2,所以盒底的面积为 20+12+12+7.251.2,（）,（）,上一页,下一页,例2（2001.19）摩托车从大本营出发，要越过450千米的无人区，但摩托车所带的燃油
2、只能行300千米。要走完这一行程，需要再动用几辆同样的摩托车帮助供给燃油，然后供油的摩托车返回大本营？如何安排？,解：需要再用2辆同样的摩托车，安排如下表,注：括号内的数表示摩托车拥有的燃油能行多少千米,上一页,下一页,例4：（2002.13）有一池泉水，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多。如用8部抽水机，10小时能把水抽干；用12部抽水机，6小时能把水抽干。那么用14部抽水机几小时能把水抽干？,解：设1部抽水机1小时抽的水为“1”，,每小时涌出的泉水是：,则原有泉水为：,假定用2台抽水机专门抽泉底涌出的泉水,则用14部抽水机抽干泉水的小时数为,答：用14部抽水机5小时能把水抽干,上一
3、页,下一页,例5：（2002.18）绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王的速度是每小时4千米，并且每走1小时后休息5分钟；小张的速度是每小时6千米，并且每走50分钟后休息10分钟。问两人出发后多少时间第一次相遇？,解：由题意经过2小时20分钟后，小王实际走了2小时10分钟，小张实际走了2小时，此时两人相距：,2小时20分钟+20分钟2小时40分钟,答：两人出发2小时40分钟后第一次相遇,上一页,下一页,例6：（2003.14）张老师家的电话号码是七位数，已知它的前四位数与后三位数的和是8401； 它的后四位数与前三位数的和是2326.这个电话号码是多少？,（1）
4、（2）得,由（2）可知d=1或d=2,代入（2）得,结果得,代入（2）得,结果得,代入(1)式检验：7861540适合，8971429不适合！,所以这个电话号码是7861540,上一页,下一页,上一页,下一页,例7：（2003.20）在113这13个自然数中，选12个填写在的 方格中，使得每横行四个数和和都相等，每竖列三个数也都相等，共有多少种不同的填法？,解：,(1)因为所选的12个数的和既是3的倍数，又是4的倍数，所以必然是12的倍数,因此，选用的数只能是1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,(3)找出上述12个数的所有和为21的三个数的组合：,试选13+6+2，因为11
5、+8+2，11+6+4都不可能， 只能选 11+9+1,这时12+8+1，12+6+3都不可能，只能选12+5+4,这时10+9+2，10+6+5都不可能，只有10+8+3,（4）从每组中选出1个数，使4个数的和是84328,只有 13+4+1+1028； 6+5+9+828； 2+12+11+328,上一页,下一页,（5）同样，如果最初选13+5+3，可得,从中找到另一个组解：,13+1+4+1028； 5+8+6+928； 3+12+11+228,（6）因为每一组解各有 个解， 所以共有288种不同的填法,上一页,下一页,上一页,下一页,例8：（2004.14）将12个三好生名额分配给8个
6、班，每个班至少1名，共有多少种分配方法？,解：只需考虑：每班分配1名后，剩下的4个名额如何分配,（1）将4个名额分给同一个班，有8种分法；,（2）将4个名额分给两个班，若每班2个，有分法（种）；若一个班1个，另一个班3个，有分法 种，共计28+5684（种）；,（3）将4个名额分给3个班，一个班2个，另两个班3个，有分法 （种）；,（4）将4个名额分给4个班，个，有分法 （种）；,则 总共有8+84+168+70330（种）,答：共有330种分配方法,上一页,下一页,例9：（2004.18）一次考试有6道题，均为是非题。每道题答对给2分，不答给1分，答错不给分。下表是A,B,C,D,E,F,G
7、七人的答案和前六人的得分，求G的得分。,提示：因为E得9分，所以E答对4题，答错1题,例10：（2005.5）一个口袋里有4种不同颜色的小球若干个（每种至少2个），每次摸出2个，然后放回。要保证有10次所摸的结果是一样的，则至少要摸多少次？,上一页,下一页,解：当摸出的2个球颜色相同时，有4种不同的结果；,当摸出的2个球颜色不同时，有 种不同的结果,因此，一共有10种不同结果,将这10种不同的结果看作10个抽屉，因为要求有10次摸的结果相同，故至少要摸,例11：（2005.7）骰子是每个面上分别标有1，2，3，4，5，6的小正方体。在很多游戏中都要掷骰子，比掷出的点子的大小。设甲先掷一次骰子，
8、然后乙掷。谁掷出的点子大谁赢。则甲赢的概率是多大？,上一页,下一页,解：当乙掷出的点数是1时，甲要赢，应掷出2,3,4,5,6之一，这时，甲赢的概率是56,一般地，当乙掷出的点数是i时，甲赢的概率是 .,由全概率公式：甲赢的概率是：,另解：由对称性！,例12：（2005.9）一次考试共有10道题，每道题要么10分，要么不得分。各题的得分率如下表： 问这次考试的及格率至少是百分之几？（大于或等于60分为及格）,上一页,下一页,解：设参加这次考试的有100人，则各题未能得分的分数分别是,5，2，8，15，20，23，26，37，44，50,合计230题每人做错5题就不及格,因此，这次考试的及格率至
9、少有54,所以最多有46人不及格,例13：（2005.16）设 中的每一个数的值都是1或者-1，并且有 求证：n是4的倍数。,上一页,下一页,证明：,所以n为偶数,例14：（2005.19）如图，将一个大圆分成五个区域，现要给这五个区域染色，要求相邻区域不得使用同一种颜色。现有四种颜色可供选择，则不同的染色方法有多少种？,上一页,下一页,解：,分如下4步依次进行：,（1）先染区域A，有4种方法；,（2）对于区域B，因为不能与B同色，所以有3种方法；,（）对于区域C，因为不能与A,B同色，所以有2种方法；,（4）最后给区域D和E染色，在给D染色时，有两种可能，与B同色或与B不同色；,如果区域D与
10、B同色，则给区域E有2种染色方法；,如果区域D与B不同色，则给区域E只有1种染色方法；,因此，根据乘法原理，共有染色方法,上一页,下一页,解：如图，设空白的六个部分的面积为a,b,c,d,e,f,又通过作辅助线可知：,上一页,下一页,下一页,练习：,1、（2000.13）一批商品，按50的利润定价，销售掉70以后，为了尽早售完剩下的商品，决定按定价打折，这样，售完后所获得的全部利润只有41，问打了多少折扣？（用算术方法列综合算式解答）,2、（2000.14）下图是某邮递员递送的街区，图上标注的数字表示各段街道的长度（单位：千米）。他从邮局出发，要走遍各条街道递送邮件，最后回到邮局。问走什么样的
11、路线最合理？全程有多少千米？,上一页,下一页,折,46千米,上一页,下一页,3、（2001.14）某旅馆底层的客房比二楼的客房少5间，某旅游团有48人。（1）如果全部安排住底层，每间住4人，则房间不够；每间住5人，则有的房间住不满。（2）如果全部安排住二楼，每间住3人，则房间不够；每间住4人，则有的房间住不满。这家旅馆的底层有客房多少间？,、（2002.7）如果在2002个零件里混杂一个重量较轻的次品，用天平（不用砝码），最少称 次才能保证把次品找出来？,4、（2002.2） 有甲、乙两个两位数，甲数 的等于乙数的 ，那么乙最多是 ；两个数的差最多是 。,10,42,56,7,01,上一页,下
12、一页,7、（2003.7）有一次考试共20题，记分方法是：做对第K题得K分；做错第K题则倒扣K分。小华做了所有题，得分为100分。那么小华至多做对了几题？,8、（2003.18）能被3整除，但又不含有数字3的四位数有多少个？,9、（2004.4）在一次测验中，甲答错了题目总数的1/9，乙答对了7道题，两人都答对的是题目总数的1/6，那么甲答对了多少道题?,10、（2004.20）求证：在任意17个不同的正整数中，必定存在几个这样的正整数，只用减号、乘号与括号，就可以将它们组成一个得数是21879的倍数的算式。,17,1969,32,11、（2005.3）已知斐波拉契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，。此数列前2005项中能被3整除的数有 个？,12、（2005.11）某一整数的个位数是2，把个位数2移至最高位，得到的数是原数的两倍，问原数最小是多少？,13、（2005.4）小于100且与100互质的所有自然数的和是 。,14、（2004.19）有9张卡片，上面分别写了数字1，2，9。从中每次取出两张卡片，共取了四次，卡片上的两个数的和分别是5，7，11，14。问 （1）取出的卡片是哪四组？ （2）没有取出的是哪一张卡片？,上一页,下一页,501,105263157894736842,2000,52+3，71+6， 114+7，145+9,
