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1、三角形内角和与外角和的专题训练一 有关角平分线（一） 一条角平分线图3图2图11. 如图1，AD是ABC的角平分线，则B+AD B与ADCC的大小关系如何？为什么？ 根据“三角形的内角和等于180”，得到B+AD B=ADCC。 由上式变形得ADCAD B=BC。 因为ADC+AD B=180，所以2ADC=180+（BC）即ADC=9012（BC）或2ADB=180（BC）即ADB=9012（BC）可见大角ADC比B与C的差的一半大90；小角ADB是B与C的差的一半的余角。2. 直接写出图2中BEC、BEA分别与AC的关系式。3. 直接写出图3中BFC、AFC分别与AB的关系式。引伸题：AD
2、是ABC的角平分线。图5 图41.如图4，点E在AD上，EFBC于F，试写出DEF与CB的关系式：2. 如图5，点E在AD上，EFAD于E，交BC于点F，试写出DFE与ACBB的关系式：3.试画图，当点E在直线AD上，EFBC于F，试写出DEF与CB的关系式：4. 试画图，当点E在直线AD上，EFAD于F，交BC于点F,试写出DFE与CB的关系式：备用图2备用图1(二)多条角平分线图2图11. 如图1，BD，CE分别是ABC的角平分线，相交于点F。（1） 根据“三角形的内角和等于180”，得到ABCACB=180A，所以12（ABCACB）=9012A，又BFC=18012（ABCACB），所
3、以BFC=180（9012A）即BFC=9012A或BFE=9012A可见三角形的两条角平分线的夹角比第三个角的一半大90，或是第三个角一半的余角。2. 如图2，ABC的三条角平分线AG，BD，CE相交于点F，试写出AFB, BFG分别与ACB的关系式； 试写出AFC, CFG分别与ABC的关系式。引伸题：BD，CE是ABC的角平分线。图4图31. 如图3，EGBD，垂足为G，试说明GEF与A的关系式。2. 如图4，DHBD，垂足为D，试说明DHF与A的关系式。备用图2备用图1 3在备用图1上，画出一个与ACF相等的角FDH.4. 在备用图2上，画出一个与CBF相等的角FHG小练习：1. 如图
4、1，BD是ABC的角图1平分线. 若A=100，C=30，则ADB=_;CDB=_;若A-C=30，则ADC=_CDB=_;若ADC=60，则A-C=_若CDB=115，则A-C=_2.如图2，AD,BE分别是ABC的角平分线，相交于点F。若C=45，则AFB=_,BFD=_若C=90，则AFB=_,BFD=_若C=100则AFB=_,BFD=_若BFD=30则C=_,若AFB=130，则C=_;若BFD=C,则C=_;若AFB与C互补，则C=_若AFB+C=150，则C=_.图2 图4图33. 如图3，若ABC=30，则AFE=_. BFG=30，则ACB=_.4. 如图4，若EHEF，垂足
5、为点E，交BD于H，EHF=45，则BAC=_; 若FMBC，垂足为点M，试说明CFM与BFG的大小关系。二有关外角平分线。图1(一)一条外角平分线图21. 如图1，CE是ABC的外角平分线，交BA于点E。 由三角形的外角性质可知，DCE=BBEC，ACE=BACAEC，又DCE=ACE；所以，BBEC=BACAEC，变形得：AEC=12(BACB). 若BAC=80，B=30，则AEC=_. 试说明BACB.2.如图2，AE是ABC的外角平分线，交CB于点E.（一） 接写出E与ABC-C的关系式；（二） 若ABC=C+45，则E=_;若E=15，则ABC-C=_;（三） 指出ABC与C的大小
6、关系。（二）两条外角平分线图4 图32. 如图3，BH,CH分别是ABC的外角平分线，相较于H点，说明A与E的关系。（一） 方法一：在ABC中，ABC+ACB=180-A，又外角FBC, GCB分别是ABC, ACB的邻补角，所以FBC+GCB=360-（ABC+ACB）=360-（180-A）=180+A。又HBC=12FBC, HCB=12GCB.所以HBC+GCB=12(FBC+GCB)=12(180+A)=90+12A。在HBC中H=180-（HBC+HCB）=180-（90+12A）=90-12A。即H=90-12A.（二） 方法二：如图4，分别ABC, ACB的平分线BG,CM,相
7、较于点G，因为BG,BH分别是ABC, FBC的角平分线，所以GBH=GBC+HBC=12(ABC+FBC)=12180=90。同理，GCH=90。在四边形GBHC中，H+BGC+GBC+GCH=360，所以，H+BGC=180，而又上述结论可知，BGC=90+12A。所以H=180-BGC=180-（90+-12A）=90-12A。即H=90-12A.另外可得H=BGM.备用图图5 _ .-() o( )_-_ 3. 如图5，AD,CD分别是ABC的外角平分线，相交于点D。（一） 若B=30，则D=_;若B=80，则D=_;若B=D，则D=_。（二） 若D=45，则B=_；若D=80，则B=
8、_；若D与B互余，则B是否存在？（三） 若B=120，试按要求在备用图上完成图形，写出D的度数。图64. 如图6，AF,BF分别是ABC的外角平分线 交于F，AH,BG分别是ABC的内角平分线，交于I点。试写出F，AIG分别与C的关系式。 试写出F与BIH的关系式； 写出FAI与FBI的关系式； 写出F与AIB的关系式；三 外角平分线与内角平分线。图2图11 .如图1 BE,CE分别是A BC的内角，外角平分线，相交于点E。， 因为ACD是ABC的外角，所以A=ACD-ABC;因为ECD是EBC的外角，所以E=ECD-EBC.因为. BE,CE分别是A BC的内角，外角平分线。所以ECD=12
9、ACD, EBC=12ABC所以ECD-EBC=12(ACD-ABC).所以E=12A.2. 如图2，CG,BE,CE分别是ABC的内，外角平分线。点F是内角平分线的交点。由上述结论可知，E=12A，又由内外角平分线的夹角是直角，则FCE=90，再根据三角形的内角和外角的性质，可得前面的结论：两条内角平分线的夹角与第三个角的关系式。BFC=90+E=90+12A，CFE=90-12A。四对顶三角形图2图1（一） 如图1，AE，BD相交于点C，则ABC与DCE称为对顶三角形，又称“八字型”。它的特点是有一组对顶角相等，即ACB=DCE，.根据三角形三内角的和等于180，则A+B+ACB=D+E+DCE，所以A+B=D+E。（二） 若A=D，则B=E。若A=E，则B=D。（三） 如图2，BF,EF分别平分ABC和DEC。 图中有_对对顶三角形。 在对顶ABG与FEG中A+ABG=F+FEG (1)；在对顶DEH与FBH中D+DEH=F+FBH (2)； 又ABG=FBG，FEG=DEH. 所以（1）+（2）得，A+ABG+D+DEH=F+FEG+F+FBH。 所以A+D=2F 若A=40，D=30，则F=_；若A=50,F=40则D=_
