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1、第四节 正态总体的置信区间,一.单正态总体 N(,2) 的情况,二.双正态总体的情况（略）,三.小结,与其它总体相比，,正态总体参数的置信区间是最完,善的，,应用也最广泛.,在构造正态总体参数的置信,区间的过程中，,本节介绍正态总体的置信区间，,讨论下列情形:,单正态总体均值(方差已知)的置信区间;,单正态总体均值(方差未知)的置信区间;,单正态总体方差的置信区间;,双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;,(1),(2),(3),(4),双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间.,双正态总体方差比的置信区间.,(5),(6),明确问题,是求什么参数的置信区间? 置信水平是多少？,N(0,
2、 1),选 的点估计为,解：,寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.,1.单正态总体均值的置信区间（1）,设总体XN(,2), 2已知，未知，设X1, X2, Xn是来自X的样本，求的置信度为1- 的置信区间。,一.单正态总体 N(,2) 的情况,对给定的置信水平,查标准正态分布表得,对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.,使,从中解得,则的一个置信度为1- 的 置信区间为,说明：,标准正态分布具有对称性，,利用双侧分位数来,间长度在的有这类区间中是最短的.,其区,当
3、然希望区间长度越短越好，但区间长度短，n必须大，即需耗费代价高，故在实际问题中，要具体分析，适当掌握，不能走极端。,注意,(1) 区间长度,当给定时，置信区间的长度与n有关.,(2) 置信度为1- 的置信区间并不唯一。,若概率密度函数的图形是单峰且对称,当n固定时，取两端对称的区间，其长度为最短。,结论,例1,某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额,机访问了100名旅游者,根据经验,已知旅游者消费服从正态分布,且标准,为95%置信区间.,解,对于给定的置信度,查标准正态分布表,将数据,随,代入,信区间为,可,77.6元至82.4元之间.,自己动手,已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机
4、地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;,注意,如果X服从任意分布,只要n充分大,仍可用,作为总体均值的置信区间,这是 因为由中心极限定理可知,无论X服从什么分布, 当 n充分大时,随机变量,近似服从标准正态分布。,给定置信度1-,X1, X2, Xn是来自N(,2)的样本,分别是样本均值和样本方差,1.均值的置信区间,(1) 2为已知, 的置信度为1- 的置信区间为,(2) 2未知, 的置信度为1- 的置信区间为,2.单正态总体均值的置信区间（2）,(2) 2为未知,统计量,服从自由度为n-1的t分布,则的置信度为1- 的置信
5、区间为,例2,某旅行社随机访问了25名旅游者,得知平均消,已知旅游者,消费额服从正态分布,的置信区间.,解,对于给定的置信度,将,均消费额在75.05元至84.95元之间,这个估计的可靠,度是95%.,估计每个旅游者的平,若未知,利用样本方差构造统计量,给定 ,先查2分布的临界表,求得12,22使得,3.单正态总体方差的置信区间,给定置信度1-,X1, X2, Xn是来自N(,2)的样本,是样本方差,从而,则方差2的置信度为1- 的置信区间为,例3. 有一大批糖果，从中随机地取16袋，称得重量(以克计)如下： 508 499 503 504 510 497 512 505 493 496 50
6、6 502 509 496 设袋装糖果得重量近似地服从正态分布，求 (1)正态总体均值的置信度为0.95的置信区间。 (2)总体标准差的置信度为0.95的置信区间。,解(1),1- =0.95,/2=0.025,n-1=15,t0.025(15)=2.1315,s=6.2022,则 的置信度为0.95的置信区间为(500.4,507.1).,2未知, 的置信度为1- 的置信区间为,则方差2的置信度为1- 的置信区间为,(2),1- 0.95,/2=0.025,n-1=15,s=6.2022,总体标准差的置信区间为(4.58,9.60),假定出生婴儿(男孩)的体重服从正态分布，随机地抽取12名新
7、生婴儿，测其体重为 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540 (1)以0.95的置信度估计新生男婴儿的平均体重。 (2)以0.95的置信度对新生男婴儿体重的方差进行区间估计。,思考,解(1),1- 0.95,/2=0.025,n-1=11,t0.025(11)=2.201,s=375.3,则 的置信度为0.95的置信区间为(2818,3295).,(2),1- 0.95,/2=0.025,n-1=11,(n-1)S2=1549467,查表得,总体方差2的置信区间为(70752,405620)。,于是,评价此新技术的效
8、果问题,就归结为研究两个正态总体均值之差1-2的问题.,在实际应用中经常会遇到两个正态总体的区间估计问题.例如:考察一项新技术对提高产品的某项质量指标的作用把实施新技术前产品的质量指标看成一个正态总体 N(1,12),而把实施新技术后产品质量指标看成另一个正态总体N(2,22).,二.两个正态总体的情况,比较甲乙两厂生产某种药物的治疗效果把两个厂的药效分别看成服从正态分布的两个总体N(1,12)和 N(2,22). 于是,评价两厂生产的药物的差异,就归结为研究对应的两个正态总体的均值之差1-2的问题. 下面讨论如何构造两个正态总体均值之差1-2的区间估计.,给定置信度1-,两个样本相互独立,1.两个总体均值差 1-2 的置信区间,(1) 12、22均为已知,所以,则,这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.,说明,三、小结,
