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1、第二章一元二次方程,AAA名师辅导 豆老师制作,一元二次方程,第一节,认识,什么是方程？什么是方程的解（或根）？,答：含有未知数的等式叫做方程。使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解。,曾学过哪些方程？,分式方程，一元一次方程，二元一次方程。,什么叫做一元一次方程？,温故知新,解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的长 为（x+5) cm. 根据题意，得,x（x+5)=150.,去括号，得 x2+5x=150.,1、剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？,根据题意列方程,2、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，长方形的长是3，求正方形
2、的边长。设正方形的边长为x，可列出方程,x,x2+3x=4,3、据国家统计局公布的数据，浙江省2001年全省实现生产总值6700亿元，2003年生产总值达9200亿元，求浙江省这两年实现 生产总值的平均增长率。 设年平均增长率为x，可列出方程：,2500,5000,7500,10000,2001,2002,2003,年份,生产总值（亿元）,9200,7670,6700,6700(1+x)2=9200,a(1+x)=b a(1+x)=b,问:有什么相同的特点?,共同点:(1)两边都是整式; (2)只含有一个未知数; (3)未知数最高次数为2次,(2),观察所列方程,具有以上三个特点的方程称为一元
3、二次方程,（1） x2+5x=150.,能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根),探究新知:,一元二次方程的概念,像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown),例1 判断下列方程是一元二次方程吗?,例2、已知，关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求m的取值范围.,解：原方程是一元二次方程, m, 2m-10,例3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( ) A.(2x-1)(x2+3)=2
4、x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0,D,例4 当m为何值时,方程 是关于x的一元二次方程.,一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 ,的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式.,其中ax2 ，bx, c分别称为二次项， 一次项，常数项.,ax2 + bx + c = 0,注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必须先将方程化为一般形式,二次项系数,一次项系数,常数项,(a0),在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项。,一般形
5、式：,常数项,二次项， 二次项系数,一次项， 一次项系数,例1 把一元二次方程（x-5 ）（x+5 ）+（2x-1）2=0 化为一般形式，正确的是（ ）,A、5x2-4x-4=0,B、x2-5=0,C、5x2-2x+1=0,D、5x2-4x+6=0,A,例2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.,1）移项，整理得9x2+4x-5=0 二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5。,2）移项，整理得3y2 2 y+1=0 二次项系数是3，一次项系数是-2 ，常数项是1。,3）移项，整理得4x2-5=0 二次项系数是4，一次项系数是0，常数项是-5。,4
6、）移项，整理得-3x2+2x+5=0 二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是5。,注意： 1.要先化成 ax+bx+c=0 的一般形式。 2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形。 3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号。,探究新知:,认识了一元二次方程,接下来我们就要探求一元二次方程的解. 方程解的定义是怎样的呢?,能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解,?,上节悬而未解的问题,问题 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安
7、排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:,即:x(x-1)=56,你能根据方程探索出方程的解吗?,思考:,你能否说出下列方程的解? 1) 2) 3),一元二次方程的根的情况与一元一次方程有什么不同吗?,根,练习:,1)下面哪些数是方程 的根? -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2)你能写出方程 的根吗?,即:平方后是它本身的数是哪些?,0或1,?,例题讲解,例题讲解,A.1 B.-1 C.1或-1 D.0,B,?,例题讲解,例题讲解,例题讲解,?,例题讲解,例题讲解,例题讲解,知识纵横,-1,1,A 3x 3.23,C 3.24x 3.2
8、5,D 3.25x 3.26,B 3.23x 3.24,C,2,通过这节课的学习，谈谈你掌握了什么？,课时小结:,课本练习:,让数学回归生活,1、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：,练一练,3x2-5x+1=0,x2+x-8=0,-7x2+4=0,3,-5,1,-8,4,1,1,-7,0,练一练,一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解或根。,判断:当未知数的值x=-1或x=0时，方程x-2=x的两边是否相等。,当x=0时，左边=0-2=-2 右边=0 因为：左边右边,解：当x=-1时，左边=（-1）-2=1-2=-1
9、右边=-1 因为：左边=右边,所以x=-1是方程的解。,所以x=0不是方程的解。,1、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：,（1）x2-3x+2=0 (x1=1 x2=2 x3=3),练一练,2、构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2。,3、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。,解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，,32+3a+a=0,9+4a=0,4a=-9,练一练,,1.一元二次方程的概念,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,2、一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。,3、会用一元二次方程表示实际生活中的 数量关系,已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为1, 求a+b+c的值.,解：由题意得,思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)一个根吗?,解：由题意得,方程ax2+bx+c=0 (a0)一个根是1.,拓展:若 a-b +c=0, 你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a0)一个根吗?,4a+2b +c=0,拓展练习,
