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1、2.3.2离散型随机变量的方差,高二数学 选修2-3,一、复习回顾,1、离散型随机变量的数学期望,2、数学期望的性质,数学期望是反映离散型随机变量的平均水平,3、如果随机变量X服从两点分布为,则,4、如果随机变量X服从二项分布，即X B（n,p），则,5、如果随机变量X服从超几何分布， 即X H（n,M,N）则,二、探究引入,发现两个均值相等,因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.,三、新课分析,（一）、随机变量的方差,（1）分别画出 的分布列图.,（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？,第二名同学的成绩更稳定.,1、定性分析,某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，
2、2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？,(二)、互动探索,某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？,反映这组数据相对于平均值的集中程度的量,离散型随机变量取值的方差,一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：,则称,为随机变量X的方差。,称,为随机变量X的标准差。,它们都是反映离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（或说离散程度），它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,3、对方差的几点说明,（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于
3、均值的平均程度越小.,说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.,（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？,随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量.,对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.,三、基础训练,1、已知随机变量X的分布列,求D(X)和(X)。,解：,2、若随机变量X满足P（Xc）1，其中c为常数，求E（X）和D（X）。,解：,离散型随机变量X的分布列为：,E（X）c1c,D（X）（cc）210,例1.篮球运动员在比赛
4、中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的方差是多少？,四、例题讲解,一般地，如果随机变量X服从两点分布，,则,小结：,一般地,如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则,小结：,练一练:,一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次数的方差是 .,1.2,例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望和方差。,解：,(1) XB（3，0.7）,(2),2.1,0.63,例3、设在15个同类型
5、的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数. （1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).,解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= . 故X的分布列为 (2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为 E(X)= ; D(X)=,则D(X),四、方差的实际应用,例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：,用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。,解：,表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较
6、分散，近似平均分布在810环。,问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？,问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,甲,乙,例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,解：,在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。,设YaXb,其中a,b为常数,则Y也是随机变量 (1)Y的分布列是什么？ (2)E(Y) (3)D(Y)=?,思考一：,五
7、、性质探究,2、方差的性质,思考二：,能否改成期望的表达式？若能改成,形式是什么？,相关练习：,3、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求E(X)和D(X)。,117,10,0.8,2，1.98,六、课堂小结,1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义,2、记住几个常见公式,若XH(n,M,N),则D(X),编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X. （1）求随机变量X的概率分布列； （2）求随机变量X的期望与方差.,分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为
8、0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列; （2）直接利用数学期望与方差公式求解.,解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= , P（X=3）= , 故X的概率分布列为 (2)E(X)= D(X)=,(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为. (1)求的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产
9、品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率.,解 （1）的所有可能取值有6,2,1,-21 P(=6)= =0.63,2 P(=2)= =0.25,3 P(=1)= =0.1,4 P(=-2)= 5 故的分布列为 7,(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34 9 (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01 =4.76-x(0x0.29).12 依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313 所以三等品率最多为3%14,学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.,
