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1、第二章 稳态热传导,Steady State Conduction,第二章 稳态热传导, 2-1 导热基本定律-傅里叶定律 2-2 导热问题的数学描写 2-3 典型一维稳态导热问题的分析解 2-4 通过肋片的导热 2-5 具有内热源的一维导热问题 2-6 多维稳态导热的求解,1、重点内容： 傅立叶定律及其应用； 导热系数及其影响因素； 导热问题的数学模型。 2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法 3、了解内容：多维导热问题,研究热量传递的目的,能准确地计算所研究问题中传递的热流量 能准确地预测所研究系统中的温度分布，且后者是关键，它是求解热流量的核心,思路：由导热基本定律出发，导出导热微分方
2、程的通用式，由此对典型形状及肋片内的一维问题的 t 分布及 进行求解，最后简单介绍多维导热及有内热源的问题。,从微观角度看，气体、液体及固体的导热机理各不相同。,气体：依靠气体分子的热运动来导热的，是分子不规则热运动时相互碰撞的结果。温度越高，分子动能越大，不同能量水平的分子相互碰撞，使热量从高温传到低温处。,2-1 导热基本定律傅里叶定律,2.1.1 各类物体的导热机理,热量是靠什么传递过去的？ 从微观的角度研究,导电固体：主要依靠自由电子的热运动来传递的，它们在晶格之间像气体分子那样运动。其次，依靠晶格结构的振动所产生的弹性波进行传递（次要的），温度高时，其影响不能忽略。,晶格：晶体中的原
3、子在空间形成的排列整齐的点阵。,非导电固体：导热是通过晶格结构的振动所产生的弹性波来实现的，即依靠分子、原子在其平衡位置的附近振动产生的弹性波来实现的。,液体的导热机理，存在两种不同的观点： 一种观点认为定性上类似于气体，只是情况更复杂些，因液体分子的间距较近，分子间的作用力对分子碰撞的影响比气体大； 另一种观点认为类似于非导电固体，主要依靠弹性波的作用来传递。,说明：只研究导热现象的宏观规律。,2.1.2 温度场 （Temperature field） 1.定义: 温度场是指在各个时刻物体中各点温度组成的集合，又称为温度分布。,其中 为空间坐标， 为时间坐标。,分类
4、,按时间,按空间：一维、二维、多维、零维,稳态温度场,非稳态温度场,2、温度场的分类,各种热力设备在持续不变的工况下运行时，物体中的温度不随时间而变，为稳态温度场，而在工作条件变动时的温度场，温度随时间而变为非稳态温度场。例如.,3、温度场的表示法等温面或等温线,等温面（isothermal surface)：温度场中同一瞬间相同温度的各点连成的面。在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线(isotherm)。即用一个平面与各等温面相截，在这个平面上即可得到一簇等温线。,等温面或等温线的特点：,温度不同的等温线（面）彼此不能相交； 对连续介质，等温线（面）只可能在物体的边界中断或完全封闭； 沿
5、等温线（面）无热量传递； 当等温线图上每相邻等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（或热流密度）的相对大小。,图2-1 温度场的图示,4. 温度梯度（Temperature gradient）,温度梯度是向量，正向朝着温度增加的方向。,等温面上没有温差，不会有热量传递,定义： 在等温面的法线方向单位距离温度增量的极限，其方向指向温度升高的方向，记为,2.1.3 导热基本定律,1. 傅里叶定律（Fouriers law）的表述 在导热现象中，单位时间内通过单位截面积的导热量，正比 于当地垂直于截面方向上的温度变化率，而热量传递的方 向与温度升高的方向相反，即,1822
6、年，法国物理学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上，发现导热基本规律傅里叶定律。,负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向,注：x 是垂直于面积A的坐标轴,傅里叶定律用热流密度表示：,向量表示：,注：傅里叶定律（Fouriers law ）只适用于各向同性材料； 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的。,导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的温度梯度，方向与温度梯度的方向相反。,有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑料板、叠层金属板，其导热系数随方向是变化的各向异性材料,对于各向异性材料，在各个方向不同，组成了一个二阶张量,热流线 ：热流线是
7、一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。（与流体力学对应：热流线流线） 热流量与热流线的关系：相邻两条热流线之间所传递的热流量处处相等，相当于构成了一个热流通道。（与流体力学对应：热流通道流管）,2、温度梯度与热流密度矢量的关系,热流通道越窄，其热流密度越大；同流体中的A 与u的关系,3. Fouriers law 的意义,把 与gradt 联系起来，有了t 分布， 就可求了 对一维稳态导热问题，可以对 直接积分获得其解； 它是测量材料导热系数的理论依据； 它与能量守恒定律结合在一起，可
8、以导出导热微分方程。,2.1.4 导热系数（导热率）,1. 定义： Fouriers law给出了导热系数的定义：,数值上等于单位温度梯度作用下的热流密度，是一个物性参数，由专门实验测定而得。,与物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等因素有关.,2. 影响因素分析,与物质的种类有关 金属与非金属、晶体与非晶 体的热导率差异明显,同一种物质，热导率与物质状态有关 如： 0 冰：2.22； 水：0.551； 水蒸汽：0.0183,对于建筑和保温材料，热导率与湿度有关 如：干砖： 0.35； 湿砖： 1.05 保温材料：导热系数小的材料称为保温材料。 国家
9、标准：凡平均温度不高于350导热系数不大0.12W/(mK) 的材料称为保温材料。与各国保温材料生产与节能技术水平有关,热导率与温度的关系,保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平,其值越小，生产及节能的水平越高。,液体（分子量M不变）：t 水和甘油等强缔合液体，分子量随温度而变化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样。图2-3b （液体）,压力对热导率的影响很小，除非很高或很低时才考虑其影响,多孔材料，密度及湿度的影响明显，密度及湿度越小，热导 率越小；但密度过小，反而会使热导率增加；,对于各向异性材料，热导率与方向有关，这时必须注明方向 才有
10、意义。如晶体、纤维体以及保温材料。, 是随温度变化的物性参数，多数材料容许采用线性近似的方法处理。,保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时： （1）蜂窝固体结构的导热 （2）穿过微小气孔的导热 更高温度时： （1）蜂窝固体结构的导热 （2）穿过微小气孔的导热和辐射,蜂窝状多孔结构,超级保温材料 采取的方法： （1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成的热损失） （2）采用多层间隔结构（1cm 达十几层） 特点：间隔材料的反射率很高，可以减少辐射换 热，垂直于隔板方向上的导热系数可达10-4,2-2 导热问题的数学描写,对于一维稳态导热问题，根据傅里叶定律直接积分可获得用两侧温差表示的导
11、热量。而对于多维导热问题，首先获得温度分布函数，然后根据傅里叶定律求得空间各点的热流密度矢量。,问题的提出,需要建立导热物体中的温度场应满足的导热微分方程,确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务。,完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件,2.2.1 导热微分方程,2. 推导的依据： 傅里叶定律 + 热力学第一定律,导入微元体的总热流量 + 微元体内热源的生成热 = 导出微元体的总热流量 + 微元体热力学能（内能）的增量,(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质; (2) 热导率、比热容c 和密度均为温度的函数; (3) 物体内具有内热源；强度 W/m3; 内热源均匀分布； &
12、nbsp;表示单位体积的导热体在单位时间 内产生或消耗的热能。,1. 推导前的假设,3. 推导过程,通过微元体中任一点、任一方向的热流量，可分解为x、y、z 三个坐标方向的分热流量。,微元六面体：dx、dy、dz, 通过x=x、y=y、z=z三个微元表面而导入微元体的热流量可根据傅里叶定律写出：, 通过x+dx、y+dy、z+dz三个微元表面导出的热流量 x+dx、y+dy、z+dz 分别为：, 微元体内热源的生成热,如单位体积内热源的生成热为 ，则微元体dxdydz内的生成热为：, 微元体热力学能的增量为：,将以上各式代入热平衡关系式，整理得：,这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微
13、分方程的一般表达式。 其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。,非稳态项,源 项,4. 具体情况下方程的简化,导热系数为常数,式中 ，称为热扩散率。,导热系数为常数、无内热源,常物性、稳态,常物性、稳态、无内热源,5. 其它坐标下的导热微分方程,圆柱坐标系,注：圆柱及球坐标系中方程的导出有两种方法：坐标转换法；微元体平衡法。,球坐标系,2.2.2 定解条件,导热微分方程式是描写导热过程共性的数学表达式，是物体的温度随时间和空间变化的关系式，没有涉及具体、特定的导热过程。,对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件的唯一解，补充说明的条件称为定解条
14、件。包括初始及边界条件。,初始条件：初始时刻温度分布的特点。稳态导热过程与时间无关，不需要时间条件；而非稳态导热过程则需要给出初始条件。,第一类边界条件: 给定任一瞬间导热体边界上的温度值.,稳态导热： tw = const,非稳态导热： tw = f (),例：,边界条件: 说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相互作用的条件。边界条件一般可分为三类,稳态导热：,非稳态导热：,特例：绝热边界面：,第二类边界条件: 规定了边界上的热流密度值。,第三类边界条件,傅里叶定律：,规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数h及周围流体的温度tf 。以物体被冷却为例(但对被加热的
15、情况也成立).,对于非稳态导热，式中的h 及tf 均为时间的已知函数,牛顿冷却定律：,以上三种边界条件与数理方程理论中的三类边界条件相对应，又分别称为Dirichlet、Neumann与Robin条件.,对于发生在不均匀材料中的导热问题，在两种材料的分界面上应满足温度与热流密度相等的条件，即,辐射边界条件,如果导热物体表面与温度为Tc的外界环境只发生辐射换热，则边界条件为,如航天器发热元件向太空的散热.,界面连续条件,另两种复杂情形,值越大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分 一旦获得热量，该热量就在整个物体中很快扩散热扩散率,此外，热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于
16、均匀一致的能力导温系数。,2.2.3 热扩散率的物理意义,定义式 ： 是非稳态导热的一个主要的物性参数,热扩散率 反映了导热过程中材料的导热能力（） 与沿途物质储热能力（c） 之间的关系；,2.2.4 傅里叶定律及微分方程的适用范围,极短时间内产生极大热流密度的热量传递现象，如极短时间的激光脉冲加工过程。（松弛时间或驰豫时间-每种材料固有的时间尺度，反映辐射能量与材料微观作用的时间） 极低温度(接近于0K)时的导热问题。 当过程发生的空间尺度极小，与微观粒子的平均自由行程相接近的导热过程-通常在大规模集成电路的制造中需要考虑。,因傅里叶定律是基于热扰动的传递速度无限大的假定之上的，故对q 不是很高，过程作用的时间足够长，过程发生的尺度范围也足够大的情况适用。,不适用的情况,例：如图所示的几何形状，假定图中阴影部分所示的导热体没有内热源，物性为常数，且过程处于稳态。中心圆管内部表面温度保持t1不变，而正方形外边界处于绝热。有人分别用不锈钢和铜作为该导热体的材料并进行实验测定。实验前他预测两种不同材料的导热体中的温度分布不一样。你认为对吗？,例: 由导热微分方程可知，非稳态导热只与热扩散率有关，而
