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1、第二章 标量衍射理论,（1） 引起振幅分布变化（孔、狭缝、黑白光栅，照片底片） （2） 引起相位变化，即波面面形变化，（透镜、有折射率分布的 平板）,光的衍射现象： 当波面受到限制时都会表现出衍射现象。如光通过单缝、孔、光栅等产生偏离直线传播的现象。 对光波的限制作用表现在：,光波的衍射效应产生于光波的波动性。 光波是电磁波，因此是矢量波，精确描述与光波有关的现象应当用电磁场理论-麦克斯韦方程;通过研究电磁场的边值问题，得到解答。但普遍的解很复杂。实际应用上在很多情况下可以采用基尔霍夫标量衍射理论处理。,按照近似程度的不同，衍射场的计算可分 （1）菲涅尔衍射观察屏离衍射物不太远 （2）夫琅和费
2、衍射光源与观察屏距屏都相当于无穷远,对衍射物（如孔径）尺度远大于波长，观察点离衍射物不太近时标量衍射理论是适用的。当衍射物的精细结构与波长可比时该理论不适用。矢量衍射理论还没有发展成熟。,物理光学的应用 (1)解释光学成像，发展出成像理论，研究孔径作用和影响分辨率因素； (2) 图像处理、识别和分类； (3)全息成像非破坏性的评估和测量； (4)二元光学器件设计，用于波面校正，光束整形，光束阵列发生器； (5)天线和阵列设计； (6) 干涉仪； (7) 光谱仪； (8)光运算。,2.1基尔霍夫衍射理论 2.1.1惠更斯菲涅尔原理与基尔霍夫理论 惠更斯原理 波前上每一点都可看作一个次级扰动中心，
3、发出球面子波；在后一时刻这些子波的包络就是新的波前。,惠更斯菲涅尔原理 由于子波来源于同一光源，它们是相干的，因而波前外任一点的光振动应是波前上所有子波相干叠加的结果。 要点： 子波相干叠加,1.惠更斯菲涅尔 原理的数学表述,为光波的一个波面； U0（P）-波面上任一点P的复振幅 U（Q）-光场中任一观察点Q的复振幅 K（q）是倾斜因子，表示 子波对Q的作用与角度有关。 C为常数. 问题,1）菲涅尔认为,即波面上任一点作为子波源时，其振动相位超前于光波传输到该点的振动 p /2，振幅差1/l。,2）K(q)的表达式不能确定。,(1). 亥姆霍兹方程 Q点的振动满足标量波动方程,为拉普拉斯算子,
4、复振动u 可表示为复振幅与时间因子乘积,代入波动方程得,k2/l 为波数,(亥姆霍兹方程),亥姆霍兹方程与时间变量无关。亥姆霍兹方程与波动方程有相同的重要意义。,亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理,任意复函数U和G在曲面及其内部都有连续的一、二阶导数，则,亥姆霍兹方程,格林定理,若G也满足亥姆霍兹方程，,则积分式左边为零,连同,代入积分公式,e,r表示内被考察点Q与V内任意一点P 的距离，r=0处，G为奇异点，需除去,选择G具有球面波形式,将G的球面波形式代入，,V,n,n,Q,e,考虑0的极限，在e上,在e面上,U和U的一阶微商的连续性,称亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理,曲面内任意一点Q的场值可以用曲面
5、 上的场值U和U/n来表示。,有限,由,e,(2).基尔霍夫衍射公式,衍射问题可简化为，研究光源P0发出的球面波照明无限大的 不透明屏上孔，计算孔径右边空间（衍射场）某点Q处的场值。,运用格林定理，可推导出更 严格的衍射公式，称基尔霍夫衍射公式。,(3)索末菲辐射条件,由基尔霍夫衍射公式,证明,在s2上（n指向外）,1,1/Rk, 1/R项可忽略,对S2的积分为,则S2上的积分趋于0。这时,因此只要在任何方向上都有,U(Q)的值由孔径部分的场和屏后部分的场确定。,如果S2为一球面波，向外发散,索末菲条件成立原因,所以有,(4)基尔霍夫假设,1)在孔径上，U和U/n的值由入射波决定，与不存在不透
6、明 屏S1时完全相同；,2)在不透明屏部分S1面上各点有U 和U/n0。（该假设不自洽）,变为,基尔霍夫衍射公式推导,同理对G有,设孔径的线度远大于波长，但远小于孔径到P0和Q到距离。,设上各点P的光场为,代入,称基尔霍夫衍射公式,孔径平面上复振幅分布是由球面波产生的，,代入菲涅尔惠更斯公式得,与菲涅尔惠更斯表达式比较得,依据基尔霍夫假设孔径外的阴影区场强为0，积分区可扩大到无穷。,(5).基尔霍夫衍射公式,惠更斯菲涅尔原理,可表示为,已推导出的结果,与菲涅尔惠更斯关系,(6).复振幅透过率,衍射屏后的复振幅与屏前的复振幅之比。,2.1.2惠更斯菲涅尔原理与叠加积分,在基尔霍夫衍射公式中，令,
7、则,为叠加公式。,t(P)可以是任意的图形， 或相位调制图案；如光栅、照片、透镜、缝、孔等。,h(P,Q)表示在P点有一单位脉冲U0(P)dS=1时，对Q点复振幅贡献。h(P,Q)称为脉冲响应或点扩散函数。,h(P,Q)的物理意义： 整个积分是对面进行的；面元ds对观察点Q贡献,h(P,Q)代表了系统的全部性质。,Q点的复振幅U(Q)是面上所有面元的光振动在Q点引起复振幅的相干叠加。 衍射过程可以视为U0到 U的线性系统的线性变换。,2.1.3相干光场在自由空间传播的平移不变性 Q点的复振幅U(Q)是面上所有面元的光振动在Q点引起复振幅的相干叠加。,其中,考察,衍射过程可视为将U0 到 U的线
8、性系统的线性变换。h（P,Q）代表了系统的全部性质。h是孔径平面坐标和观察平面坐标的函数h(x,y,x,y)。下面我们考察在什么条件下光场在自由空间传播满足平移不变性。,如果观察面离开孔径较远且距离z远大于孔径，并且满足傍轴条件，则,因此，倾斜因子的作用可忽略。,傍轴条件,当光源P0离开孔径较远，入射光在孔径上各点入射角不大，(注意n 和r0的方向),考察在傍轴条件下r、z的近似。分母r可用z 代替，但是在指数部分，要精确表达为,点扩散函数变成,孔径面坐标轴x0y0, 观察点位于xy面，复振幅,说明孔径上的透射场U0(x0,y0)和观察面上的光场U(x,y)之间存在着卷积关系。 即当倾斜因子的
9、作用可忽略时，光波在衍射孔径后的传播过程可看成是光波通过一个线性平移不变系统。,2.1.4相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式 1. 傍轴近似,脉冲响应表达式为,表达式很复杂。r可表示为,当,时,都是小量，r可展开为,当z足够大时展开式中第三项可忽略。即k第三项2，这个近似称菲涅耳近似或傍轴近似.,这时,、,(1)傍轴近似下的脉冲响应,观察面上的场可表示为叠加积分,将,代入,得,(2)傍轴近似下的菲涅耳衍射公式,将点扩散函数h(x-x0,y-y0)代入,相当于用二次抛物面代替球面子波。,菲涅耳原理,傍轴近似,2.远场近似,r可表示为,当孔径面远小于z时,于是,称夫琅和费近似或远场近似。
10、脉冲响应为,h不再是x-x0; y-y0的函数。不具有空间平移不变性。,可忽略。,2.2.1单色平面波与本征函数 对于菲涅耳衍射，相干光场在给定两平面间的传播可看做通过二维线性空不变系统。对于单色平面波,在空间传播一段距离后只是改变了相位，即乘了一个复常数。符合本征函数的定义。,2.2.2角谱的传播,孔径光场可看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一分量的相对振幅和位相取决于角谱,观察面 （x,y） 场分布U(x,y) 角谱,。,孔径平面（x0,y0） 场分布U0(x0,y0) 角谱,2.2衍射的角谱理论,对孔径和观察面的傅里叶变换为,研究目的：找A0()和A()的关系。注意A(
11、)是z的函数,对U(x,y)应用亥姆霍兹方程,解方程得,z=0处A=A0，于是,被积函数应为0，整理后得,因此,讨论：,时,说明随z增大相应的角谱分量迅速减小，该分量称倏逝波。,从系统传输的角度看,把频谱作为输入和输出，传递函数为,角谱理论从频域上讨论光的传输 。 可将系统视为低通滤波器。高于1/的空间频率不能传输。,当,2.2.3孔径对角谱的影响 照明孔径的入射场和出射场关系 入射到孔径面上的场 Ui 衍射面出射场 Uo 衍射屏的透过率 t,入射、出射光角谱关系,T是t的傅里叶变换,反映了结构对出射场角谱的影响。,孔径输出,用函数表征的入射光场的角谱变成了孔径函数的傅里叶变换。空域上看是孔径
12、限制了波面.输出波面与孔径一致。,用单位振幅的平面波照射衍射屏（单一频谱）,2.3.1菲涅耳衍射,在推导上式时，将r近似为，,第三项引起位相变化,当j2，即,为菲涅耳衍射的充分条件。,2.3菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射,由菲涅耳衍射公式,由近似的传递函数H推导菲涅耳公式,当,作展开,第三项的贡献远小于2。,由几何关系,与（2.3.2）一致,代入上式,z应满足,在菲涅耳衍射区,代入H表达式,由cosx；cos,作傅里叶逆变换,对,观察面（x,y） 场分布U(x,y) 角谱,孔径平面（x0,y0） 场分布U0(x0,y0) 角谱,H的逆变换,H表达式,与傍轴近似下推导的脉冲响应相同.,即,h(x-x0
13、,y-y0)代入,和菲涅耳衍射公式（2.1.22）相同。,当用会聚光源,照明衍射物时，可使得指数,部分相消，得到U（x0,y0)的傅里叶变换。,将指数项中平方项展开，输出为,形式上可看成是,的傅里叶变换。图样与z相关。,1836年Talbot发现，光源照射周期物体，在透明片后的一些距离上有自成像现象。,2.3.2泰伯效应,物分布的空间频率,菲涅耳传递函数表达式,计算观察面上场分布的频谱,当z满足,周期物体,时,作傅里叶逆变换得,光强,于是在,的距离上可观察到周期物体 的像（）。Zt为泰伯距离。,的距离上可观察到周期物体的负像（）。,同样在,菲涅耳衍射：例题泰伯效应 P48: 2.12,思考:
14、在两个自成像位置的中间位置, 光强度分布如何变化?,#,原物：,像：,2.3.3夫琅禾费衍射,可略去，即,或,该范围内的衍射为夫琅和费衍射,观察面上的场分布正比于孔径面上出射场的傅里叶变换。其夫琅和费衍射就是屏函数的傅里叶变换。空间频率值取,xx/z; =y/z,夫琅和费衍射图样不随z改变，但图样会有缩放。,在菲涅耳衍射公式中当z增大到,菲涅耳近似范围,夫琅和费近似范围,物点S经透镜成像在S。透镜两顶点O1和O2，对于薄透镜，入射和出射参考面P1、P2光线的入出高度相同(取相同的坐标系）。 透镜的复振幅透过率为,在傍轴近似下，S点光源发出 发散球面波在P1上的场分布为,x0=0, y0=0,
15、z = p,经透镜变换后，向S点会聚。 在P2面上是会聚的球面波,2.4.1透镜的相位变换作用,不影响P1、P2面上的位相相对分布，分析时可略去。,因p、q是常数。,只引起常量的相位变化。,和,由透镜成像公式,得,说明透镜的相位变换作用是把一个发散的球面波变换成会聚的球面波。,透过率因子,当用平面波垂直于P1面入射时U1(x,y)=1，P2上的分布为,正透镜 f0 ，U1是向透镜后方焦点F会聚的球面波。 负透镜 f0 ， U1是由透镜前方虚焦点F发散的球面波。,透镜的相位变换因子为,只要满足傍轴条件，就可对任意的入射波进 行变换。薄透镜的相位变换特性与入射波无关。,实际透镜有一孔径，透镜孔径函
16、数（光瞳函数）为,2.4.2 透镜的傅里叶变换特性,（2）照明光源的共轭面上 物的位置会影响衍射图样的大小， 但图样分布图样不变。,（1）平行光照明下，在透镜的后焦面上观察（在无穷远处照明,光源的共轭面）。,用正透镜观察夫琅和费衍射；（实现傅里叶变换的途径）,1. 物在透镜之前 透明片的振幅透过率t（x0，y0），所在位置称输入面. 薄透镜的P1、P2面重合。,单色点光源发出的球面波在物的 前表面0上的场分布为,透过物体后，即从输入面出射光场,到达透镜平面，（菲涅耳衍射公式）,忽略,通过透镜后的场分布（相位变换）,在输出面上，即光源的共轭面上光场分布 （再经一次菲涅耳衍射，P（x,y)的作用转移
