CHAP6数值积分与数值微分1_4节

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1、第6章 数值积分与数值微分,刘东毅 天津大学理学院数学系,第6章 数值积分与数值微分,主要目的： 讨论数值积分的基本理论与方法 代数精度的概念 数值稳定性 插值型数值积分的思想 复化求积方法的思想 变步长的求积方法 Guass 求积公式 讨论求数值微分的各种方法,主要内容: 数值积分公式及其代数精度 插值型数值积分公式 与 Newton-Cotes 公式 复化求积法 变步长的梯形公式 与 Romberg 算法 Guass 求积公式 数值微分,6.1 数值积分公式及其代数精度,1.数值积分公式的定义：,作为 的近似值,称上式为数值积分公式。 xk (k = 0 , 1 , . . . , n)

2、称为求积节点。权 Ak 又称求积系数, Ak 仅与 xk 的选取有关。,称 为数值求积公式的余项。,(6.1.1),2.数值积分公式的代数精度,利用余项 R(f) 可以描述数值积分公式的精度, 而刻画其精度的另一概念是代数精度.,定义6.1.1 若数值积分公式对于一切次数 m 的代数多项式, 都准确成立, 称其至少具有 m 次代数精度; 若数值积分公式对于一切次数m 的代数多项式都准确成立, 而对于某个 m +1 次代数多项式不准确成立, 则称此求积公式具有m 次代数精度.,定理6.1.1 数值积分公式具有 m 次代数精度的充分必要条件是当 f (x) =1, x , x2 , . . . ,

3、 xm 时数值积分公式准确成立, 而当 f (x) = xm+1 时其不准确成立.,按以上定义易知,中的待定系数 A0 , x1 , A1 , 使其代数精度尽量高, 并指出所确定的求积公式的代数精度.,解：令 f (x) = 1 , x , x2 使之准确成立, 则有,例6.1.1. 确定下列数值积分公式,取 f (x) = x3 时, 上式左边 = 右边 = 1/4 。,取 f (x) = x4 时，上式左边 = 1/5，右边 = 5/24， 左边 右边。 所以确定的求积公式具有3 次代数精度。,6.2 插值型数值积分公式与 Newton-Cotes 公式,插值型数值积分公式 设 f (x)

4、 在插值节点 a x0 x1 . . . xn b 处的函数值为f (xk) (k = 0 , 1 , . . . , n ) ,作 n 次 Lagrange 插值多项式,于是,其中,定义6.2.1 对于数值积分公式 (6.1.2),易知插值型数值积分公式的余项为,(6.2.3),若其求积系数,其中lk(x)是n次Lagrange插值基函数，则称该数值积分公式是插值型的数值积分公式.,定理 6.2.1 插值型数值积分公式至少具有n 次代数精度。,特别地,当 时,可得,2. Newton-Cotes公式,将区间 a , b 分为 n 等分, 步长 , 取等距节点,利用这些节点处的函数值 f (x

5、k) 作 f (x) 的 n 次 Lagrange 插值公式,则有,其中 。,Newton-Cotes 公式是等距节点插值型求积公式.,令 x = a + th , 由,因此有,上式称为 Newton-Cotes 公式, 称为 Cotes 系数。,可求得,其中,Cotes 系数满足：,n = 18 的Cotes系数,当 n = 1 时, 可得到基本梯形公式,当 n = 2 时, 可得到基本 Simpson 公式,当 n = 4 时, 可得基本 Cotes 公式,其中,可以证明当 n 为偶数时 Newton-Cotes公式至少 具有 n+1 次代数精度,可证明其具有一次代数精度.,可证明其具有3

6、次代数精度.,可证明其具有5次代数精度.,Newton-Cotes公式的余项,当 时, 基本梯形公式的余项,当 时, 基本Simpson 公式的余项,当 时, 基本Cotes 公式的余项,Newton-Cotes公式数值稳定性,什么是数值稳定性？,设在节点 xk ( k = 0, 1, . . ., n ) 处 f (x) 的精确值为 f (xk),而实际参加运算的近似值为 ,对于某一给定的算法，原始数据的误差为，且假设在运算过程中的其他误差都是由引起的，如果误差在一定条件下能够得到控制，即数值计算结果的误差至多是原始数据误差的同阶无穷小量，则称该算法是数值稳定的；否则称该算法是数值不稳定的。

7、,令,利用 Newton-Cotes 公式求解, 由此引起的计算结果的绝对误差为,若 同号,则有,这表明, 由输入数据 f (xk) 的误差 被 控制,当 不同号时, 尽管 但 仍可能很大,从表 中可以看出, 当 n8时,它们不同号, 故一般不采用n8 的 Newton-Cotes公式.,此时,此时是数值积分公式是稳定的。,6.3 复化求积法,若积分区间较长, 直接利用梯形公式、Simp -son公式或 Cotes 公式计算, 则误差较大, 为了提高精度, 通常采用复化求积方法。,首先将区间a , b n等分, 步长 分点坐标为 xk = a+kh，(k = 0, 1, . . ., n) 。

8、然后在每个小子区间 xk , xk+1 (k = 0 , 1, . . . , n-1)上应用数值积分公式求得积分的近似值 Ik ,将 Ik 求和便得到复化求积公式.,1.几个常用的复化求积法,余项,注：由以上各余项公式很容易看出，当h 0时，Tn(Sn或Cn) I ( f )。,复化 Cotes 公式,而实际上，根据黎曼积分的定义，只要f (x)可积即可。,定义6.3.1 若复化求积公式 In ( f ) 满足,（C 为定常数) ,则称该求积公式 In ( f ) 是 P 阶收敛的.,可知：复化梯形公式, 复化 Simpson 公式和复化 Cotes 公式分别为 2 阶, 4 阶, 6阶收敛

9、的.,为了描述随着区间等分个数n时，In ( f ) 逼近I ( f ) 的程度，我们引入收敛阶的概念。,例6.3.1 利用复化梯形公式和simpson公式计算,，为使误差不超过10-5，需要将各分为多少等份，由此可得出什么结论？,解：利用复化梯形公式余项公式，有：,为使误差不超过10-5, 如何做？,令：,，于是,，,解得 。,即至少需要将区间 分509等份。,类似地，利用复化Simpson公式余项公式，有：,即至少需要将区间 11等分。,解得 。,由于利用复化Simpson公式计算时，又要用到每一个小区间的中点，故实际至少需要将区间 分22等份。,由此可以看出，在精度相同的条件下，复化Si

10、mpson公式要利用23个函数值，而复化梯形公式要利用510个函数值。利用复化Simpson公式计算时，计算量要少得多。,例6.3.2 利用复化求积公式计算积分,解：,(1) 将区间 0, 1 8等分, 步长 分点,采用复化梯形计算, 求得,(2) 将区间 0, 1 4等分, 步长 采用复化 Simpson 公式计算, 仍然利用原来 9 个分点处的函数值, 求得,这两种方法计算量基本相同, 但所得到的结果与真值= 3.1415926 . 比较可以看出复化 Simpson 公式求得的结果要精确得多.,6.4 变步长的梯形公式与Romberg算法,1.变步长的梯形公式 复化求积公式称为定步长的求积

11、公式，它对提高精度是行之有效的。但对于给定的精度，要确定一个合适的步长往往难以办到。因此实际上一般常采用变步长的求积公式。即让步长逐次折半的过程中，反复使用复化求积公式进行计算，直到相邻两次计算结果之差的绝对值小于允许精度的要求时终止计算，这种方法称为变步长的求积方法。,例如: 对于积分,采用变步长的梯形公式进行计算.,将区间 a , b n 等分 , 步长 , 按复化梯形公式,计算时, 需调用 n +1 个函数值。,现在将 h 折半, 再将上述每个区间 xk , xk+1 对分一次, 分点增至 2n + 1 个, 设上述小子区间的中点为,在 xk , xk+1 上用复化梯形公式并求和得,上式

12、称为变步长的梯形公式. 即在求 T2n 时, 可以利用前面已求出的结果Tn , 剩下的仅仅需要求出 n 个新分点处的函数值.,注意：h = xk+1-xk,变步长的梯形公式的算法,Step 1. 给定精度 0，m为正整数，步长h =(b - a)/2m。,即将积分区间分割成2m等份。,将每一个小子区间二等分，即步长折半。,例6.4.1 用变步长的梯形公式计算积分（精确到10-6）,解: 对于 , 定义 f (0) = 1, 首先在区间 0 , 1 上用梯形公式（即步长 h = 1）,求得,将 0 , 1 对分, 它的中点函数值 , 则有,如此继续下去, 计算结果如下表,从上表可看出, 将积分区

13、间对分了10次, 求得 I 的近似值为0.9460831 (积分精确值为0.9460831. . . ), 可见收敛速度比较缓慢。,2. Richardson外推算法,若用一个步长为 h 的函数 I1( h ) 去逼近问题 I , 设其 截断误差可表示为,为了提高逼近的精度，选取 q 为满足 的 正数, 将上式(1)中的 h 换为 qh , 则有,(1),(2),(2) 式减上式 , 得,则 I2(h) 逼近I 误差降为,，,如此继续。,一般地, 选取 q 为满足 的正数, 由此得到序列,则 Im+1 ( h ) 逼近 I 的误差由下面的定理给出。,定理 6.4.1 设 I1 ( h ) 逼近

14、 I 的截断误差由下式给出,则 Im+1 ( h )逼近 I 的截断误差为,其中 是与 h 无关的常数。,这种利用序列Im+1(h) 逐步加速去逼近 I 的方法 称为Richardson外推算法,Richardson外推公式,3. Romberg 算法,Romberg 算法是利用变步长的梯形求积序列 外推加速来逼近积分真值的算法.,考虑积分,由复化梯形公式有,现在将 Tn 记为 T1( h ), 即,设 f (x) 在区间 a , b 上任意次可微, 根据 Euler-Maclaurin公式有,其中 是与 h 无关的常数。,因为Pm = 2m , 带入上式整理后得,易知 Tm+1( h ) 逼

15、近 I 的误差为 O ( h2(m+1) ) ，这种算法称为 Romberg算法。,，,。,则有,选取 利用 Richardson 外推公式,知T2 ( h ) = Sn，,当m =1时，由上式得,则 T2 ( h ) 逼近 I 的误差为 O ( h4 )。,由 T1 ( h ) = Tn 和,故有,这是因为,从二分前后两个复化梯 形值生成复化 Simpson 值 Sn , 将误差 O( h2 )变 为O( h4 ), 从而提高了逼 近精度,当 m = 2 时 ,则 T3 ( h ) 逼近 I 的误差为 O ( h6 )。,由T2 ( h ) = Sn ,可以证明 T3 ( h ) = Cn , 故有,能从二分前后两个复化Simpson值生成复化Cotes值Cn ,将误差O( h4 )变为O( h6 ), 从而提高了逼近精度。,则 T4 ( h ) 逼近 I 的误差为 O ( h8 )。,上式称为 Romberg 公式, 利用此公式能从二分前后的两个复化 Cotes值生成 Romberg 值 Rn , 且 Rn 逼近 I 的误差为 O ( h8