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1、,第六节 简单的三角恒等变换,asinx+bcosx是如何化简的？ 提示:asinx+bcosx 令 则 故asinx+bcosx= (sinxcos +cosxsin ) = sin(x+ ).,1.已知 (,2),则 等于（ ） (A) (B) (C) (D) 【解析】选B.cos= (,2), ( ),2.已知是第三象限角，且 则 等于 （ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】选C.方法一:由 得 即,或 又是第三象限角,方法二:是第三象限角且,3.已知是第三象限的角，且 那么sin2的值为（ ） (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.sin4+cos4 =(sin2+c
2、os2)2-2sin2cos2= 4sin2cos2= 即sin22= +2k +2k(kZ), 2+4k23+4k(kZ),4.若 则 =_. 【解析】 答案:2 012,5.计算: 【解析】原式 答案:,三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明. (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解.,(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解. (3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求
3、解变形即可.,三角函数式的求值 【例1】已知 求 的值. 【审题指导】本例属于条件求值，条件中是正切的单角的式子，而要求的函数式中有单角也有半角，故应先将所求式子化半角为单角，将弦化切后再求解.,【自主解答】,【规律方法】已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： （1）先化简所求式子或所给条件； （2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）； （3）将已知条件代入所求式子，化简求值.,【变式训练】已知cos(+)+cos(-)= sin(+)+sin(-)= 求(1)tan;,【解析】（1）由已知得2coscos= 2sincos= 得, (2)原式= 由（1）
4、得 代入上式得,三角函数式的化简 【例2】化简： 【审题指导】切化弦、通分整理是化简含有正切式子的常用 方法.,【自主解答】,【规律方法】1.三角函数式的化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分. 2.,3.三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.,【互动探究】若将本例中的式子改为 进行化简. 【解析】原式=,【变式训练】化简： 【解析】,三角恒等式的证明 【例】证明： 【审题指导】（1）由于左边较繁，由繁化简从左边入手. (2)左边是分式结构，分式加减一般要通分，不妨通分，左 边= (3)分别看分子、分母的结构，分母与二倍
5、角公式接近，故 考虑二倍角公式.分子从多项式观点看，可运用平方差；从 次数上看可降幂.,【规范解答】,【规律方法】1.证明恒等式的方法： 从左到右；从右到左； 从两边化到同一式子. 原则上是化繁为简，必要时也可用分析法. 2.三角恒等式的证明主要从两方面入手： (1)看角：分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化; (2)看函数:统一函数,向结果中的函数转化.,【变式备选】若tan2=2tan2+1. 求证：sin2=2sin2-1.,【证明】由已知得 即 即 即sin2-sin2sin2=sin2+1-sin2-sin2sin2. sin2=2sin2-1,即等式成立.,的应用 【例3】已知
6、f(x)=cosx(cosx-3)+sinx(sinx-3), (1)若x2,3,求f(x)的单调递增区间; (2)若x( )且f(x)=-1,求tan2x的值. 【审题指导】将函数式进行化简,而后利用asinx+bcosx = sin(x+ )的形式变形，再利用正弦函数的单调区间求解，再利用f(x)=-1得sin2x,cos2x，而后求tan2x.,【自主解答】（1）由已知得， f(x)=cos2x-3cosx+sin2x-3sinx =1-3(cosx+sinx) 由2k+ x+ 2k+ (kZ), 得 又x2,3, 函数f(x)的单调递增区间是,(2)由(1)知,【规律方法】利用 把形如
7、 y=asinx+bcosx+k的函数化为一个角的某种函数的一次式， 可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等. 提醒：该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当 为特殊 角即 的值为1或 时要熟练掌握.对 是非特殊角 时，只要求会求最值即可.,【变式训练】已知函数 (0)的最小正周期为. (1)求f(x); (2)当x 时，求f(x)的值域.,【解析】 f(x)的最小正周期为且0,三角函数、三角恒等变换的综合问题 【典例】（2010湖南高考）已知函数 (1)求函数f(x)的最大值； (2）求函数f(x)的零点的集合. 【审题指导】由已知利用降幂公式及 将函数化为同一个角的三角函数，而
8、后求解即可得结果. 第(2)问可解方程求解.,【规范解答】（1）因为 所以，当 即 时，函数 f(x)取得最大值1. (2)方法一：由（1）及f(x)=0得 所以 或 即x=k或 故函数f(x)的零点的集合为x|x=k或 .,方法二：由f(x)=0得 于是sinx=0或 cosx=sinx即tanx= .由sinx=0可知x=k;由tanx= 可知 故函数f(x)的零点的集合为,【创新点拨】本例将三角恒等变换及三角函数与函数零点的知识相结合，较为新颖地构建了函数与三角的联系，实现章节结合，知识拓展，适合当前高考形式即稳定之中有创新的意图，解答此类问题时要结合题目特点进行有机地转化，如本例（2）
9、中函数零点可转化为求解三角方程从而获解.,【变式训练】若 则实数a的值所在范围是 （ ） (A)(0, ) (B)( ,1) (C)(-1,- ) (D)(- ,0),【解析】选A. =2sin35.4, sin30sin35.4sin45, 即,1.（2010新课标全国卷）若 是第三象限的 角，则 （ ） (A) (B) (C)2 (D)-2,【解析】,2.（2010全国）已知 则cos(-2)=（ ） (A) (B) (C) (D) 【解析】选B.由cos(-2)=-cos2=2sin2-1,3.(2011淮南模拟)设M=平面内的点（a,b）,N= f(x)|f(x)=acos2x+bsi
10、n2x,给出M到N的映射 f:(a,b)f(x)=acos2x+bsin2x,则点(1, )的对应元素f(x)的最小正周期为（ ） (A) (B) (C) (D)2 【解析】选C.由题意得,4.(2010浙江高考)函数 的最小正周期是 _. 【解题提示】先降幂化简,再求周期. 【解析】由 答案:,5.（2011长沙模拟）已知为第二象限角， 则 tan2=_. 【解析】由为第二象限角， 答案:,一、选择题（每小题4分，共20分） 1.若 则cos+sin的值为（ ） 【解析】选C.由,2.函数 的最小正周期等于( ) (A) (B)2 (C) (D) 【解题提示】把原式化为 的形式再求解. 【解
11、析】选A. 最小正周期,3.函数 ,x 的最大值为（ ） (A)-1 (B)2 (C) (D) 【解析】选B. 当 即 时,y取得最大值2.,4.(2011中山模拟)已知角A为ABC的内角，且sin2A= , 则sinA-cosA=( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.A为ABC的内角且sin2A=2sinAcosA= 0,cosA0. 又(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA= , sinA-cosA= .,5.(2011青岛模拟）已知tan110=a,求tan50时,同学甲利用两角差的正切公式求得:tan50= 同学乙利用二倍角公式及诱导公式得tan50= 根据上
12、述信息可估算a的范围是( ) （A）(-,-2- ) （B）(-2- ,-3) （C）(-3,-2) （D）(-2, ),【解析】选C.由题可知甲计算的tan50= 乙计算的tan50= 所以 整理可得 令f(a)= 根据零点存在定理,f(-3)f(-2)0, 所以可以估算a的值属于(-3,-2),故选C.,二、填空题(每小题4分，共12分) 6.函数 (xR)的最大值等于_. 【解题提示】利用二次函数求最值. 【解析】 当 时， 答案：,7.设函数f(x)=sinx+cosx,f(x)是f(x)的导数，若 f(x)=2f(x)，则 =_. 【解析】f(x)=cosx-sinx,由f(x)=2
13、f(x)，得 sinx+cosx=2cosx-2sinx,cosx=3sinx, 于是 答案:,8.已知 则f(1)+f(2)+ f(2 010)+f(2 011)=_. 【解析】 f(x)的周期 又f(1)+f(2)+f(8)=0, f(1)+f(2)+f(2 010)+f(2 011) =2510+f(1)+f(2)+f(3) 答案:,【方法技巧】周期的妙用 三角函数有别于其他基本初等函数的最大特点是有周期性，解决此类问题一般是通过恒等变形化为 的形式，应用公式 分别求出周期，再从待求结论分析，利用函数f(x)的周期性解答.,三、解答题(每小题9分，共18分) 9.(2011江西师大附中模
14、拟)已知函数 x . (1)求f(x)的最大值与最小值; (2)若不等式|f(x)-m|2在x 上恒成立，求实数m的取值范围.,【解析】(1)由 又 f(x)2,3,即f(x)max=3,f(x)min=2. (2)由|f(x)-m|f(x)max-2且mf(x)min+2, 1m4, 即m的取值范围是(1，4).,10.(2010天津高考)已知函数 (xR). (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值; (2)若 求cos2x0的值.,【解析】(1)由 ，得 所以函数f(x)的最小正周期为. 因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又 所以函数f(x)在区间 上的最大值为2，最小值为-1.,(2)由(1)可知 又因为 所以 由 得 从而 所以,【探究创新】 （10分）如图是广州市在迎接2010亚运 会中改造的沿市内主干道城站路修建的 圆形休闲广场，圆心为O，半径为100 m, 其与城站路一边所在的直线l相
