《2012山东高三高考数学教程及世纪金榜答案24节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012山东高三高考数学教程及世纪金榜答案24节（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 二次函数,一定是函数y=ax2+bx+c(a0)的最值吗？ 提示:当 在定义区间上时是函数的最值，否则就不是,1.(2011武汉模拟)已知二次函数f(x)图象的对称轴是x=x0，它在区间a,b上的值域为f(b),f(a),则( ) (A)x0b (B)x0a (C)x0(a,b) (D)x0 (a,b) 【解析】选D.二次函数f(x)在a,b上的值域为f(b),f(a)， a,b应在二次函数对称轴的某一侧或x0=a或x0=b. 又x=x0为其对称轴方程，x0 (a,b).,2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为( ) (A)1,+) (B)
2、0,2 (C)1,2 (D)(-,2 【解析】选C.y=x2-2x+3=(x-1)2+2， 当x=1时函数有最小值2， 又函数y=x2-2x+3在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，1m2.,3.如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图象关于直线x=1对称，则函数f(x)的最小值为_ 【解析】函数f(x)=x2+(a+2)x+b的对称轴为 又函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图象关于直线x=1对称， a=-4,b=6. f(x)=x2-2x+6(x-4,6)， 因此，该函数当x=1时函数取最小值5. 答案:5,4.若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数，则a=_
3、 【解析】函数y=(x+1)(x-a)为偶函数， (-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a)对一切实数xR都成立， 即x2+(a-1)x-a=x2-(a-1)x-a对一切实数xR都成立， 即2(a-1)x=0对一切实数xR都成立，a=1 答案：1,1二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a0)； (2)顶点式：y=a(x+h)2+k(其中a0，顶点坐标为(-h,k)； (3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(其中a0，x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标). 2二次函数y=ax2+bx+c(a0)为偶函数的条件 二次函数y=ax2+bx+c(a0)为偶
4、函数的条件是：b=0,3与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax2+bx+c0，a0恒成立的充要条件是 (2)ax2+bx+c0，a0恒成立的充要条件是 4二次函数中比较f(x1)与f(x2)大小的方法 主要看|x1+ |与|x2+ |的大小以及抛物线的开口方向.,求二次函数的解析式 【例1】已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3)，且f(-1+x) =f(-1-x)对任意实数都成立，函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称 (1)求f(x)与g(x)的解析式； (2)若F(x)=g(x)-f(x)在(-1,1上是增函数，求实数的取值范围,【审题指导】(1)本题是求f(
5、x)与g(x)的解析式，由于f(x)的解析式中有两个未知数，而题中已知两个条件，因此可用待定系数求解f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求出g(x)的解析式； (2)直接建立关于的方程组求解或由F(x)在(-1,1上是增函数，可得F(x)0在x(-1,1恒成立，进而求出的值,【自主解答】(1)依题意得 解得： f(x)=x2+2x 设函数y=f(x)图象上的任意一点A(x0,y0)，该点关于原点的对称点为B(x,y)，则x0=-x,y0=-y. 点A(x0,y0)在函数y=f(x)图象上, y0=x02+2x0， -y=x2-2x，y=-x2+2x， 即g(x)=-x2+2x.
6、,(2)F(x)=g(x)-f(x) =-x2+2x-(x2+2x) =-(1+)x2+2(1-)x F(x)在(-1,1上是增函数 方法一：当=-1时满足条件；当-1时， 有 解得：-10或-1，综上可得0.,方法二： F(x)=-2(1+)x+2(1-)0在(-1,1上恒成立，即 在(-1,1上恒成立 令= 在(-1,1上为减函数， 当x=1时取最小值为0，因此0， 即所求的取值范围是(-,0,【规律方法】在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式 (1)已知三个点的坐标，应选择一般形式； (2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式； (3)已知函数图象与x轴的交点坐标
7、，应选择两根式 提醒:求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引入的系数过多，会加大运算量，易出错,【互动探究】若本例(2)中的“增函数”改为“单调函数”，结果如何？ 【解析】F(x)=g(x)-f(x)=-x2+2x-(x2+2x) =-(1+)x2+2(1-)x 当1+=0即=-1时，F(x)=4x在(-1,1上是增函数； 当1+0时，函数的对称轴为x= ，若函数F(x)为单调函数，则有 1或 -1， 解得：-10或-1； 综上可知：的取值范围是(-,0,【变式训练】已知二次函数f(x)同时满足条件： (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为15; (3)f(x)=0
8、的两根立方和等于17.求f(x)的解析式. 【解析】依条件，设f(x)=a(x-1)2+15(a0), 即f(x)=ax2-2ax+a+15. 令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0, x1+x2=2,x1x2=,而x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) =23-32(1+ )=2- , 2- =17，则a=-6. f(x)=-6x2+12x+9.,二次函数的图象与性质 【例2】已知函数y=4x2-4ax+a2-2a+2在区间0,2上有最小值3，求a的值 【审题指导】本题是求a的值，但由于在条件中已知函数的最值，所以，在求解方法上，可以考虑函数的定义域与对称轴的关系
9、分类讨论，从而得出函数的最值，列方程即可得出a的值,【自主解答】y=4x2-4ax+a2-2a+2 =4(x- )2-2a+2，其对称轴为x= ， 当 0，即a0时，函数y=f(x)在0,2是增函数，此时它的最小值为f(0)=a2-2a+2， 依题意得：a2-2a+2=3， 解上式得：a= ， 又a0，a= ；,当0 2，即0a4时，函数y=f(x)在0,2上的最小值为f( )=-2a+2， 依题意得：a= (0,4)，即此时无解； 当 2，即a4时，函数y=f(x)在0,2是减函数，此时它的最小值为f(2)=a2-10a+18， 依题意得：a2-10a+18=3， 解上式得：a= ， 又a
10、4，a= ； 综上可知：a= 或a=,【规律方法】影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法 (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关； (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值 提醒：当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论,【变式训练】已知f(x)=x2+3x-5，xt,t+1，若f(x)的最 小值为h(t)，写出h(t)的解析式求h(t)的最小值 【解析】f(x)=x2+3x-5的对称轴为x= 当t+1 即t 时， h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5 =t2+5t-1(t )； 当
11、t t+1，即 t 时， h(t)=f( )=( )2+3( )-5= ( t )；,当t 时， h(t)=f(t)=t2+3t-5(t ); 综上可知： 当t 时， h(t)=t2+5t-1( )2+5( )-1= ； 当 t 时，h(t)= ；,当t 时，h(t)=t2+3t-5( )2+3( )-5= ; 即对于任意的实数t恒有h(t) ， 即h(t)有最小值 ,二次函数的综合应用 【例3】(2010湖南高考)函数y=ax2+bx与y= (ab0, |a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是( ),【审题指导】在同一个坐标系中作出两个函数的图象，二次函数主要观察开口和对称轴的情况，对数函
12、数主要观察单调性所以在解决方法上可考虑排除法.,【自主解答】选D在A中由抛物线的开口向上得到a0，由 抛物线与x轴的另一个交点的横坐标满足0 1，不能得 到| |1，A不正确在B中由抛物线的开口向下得到 a1，B不正确在C中由抛物线的开口向下得 到a1，此时对数函数图象应该单调递增，C错,误在D中由抛物线的开口向上得到a0，由抛物线与x轴的 另一个交点的横坐标满足-1 0 ，可以得到| |1， 此时对数函数图象单调递减，D正确,【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与各系数间的关系 (1)a与抛物线的开口方向有关； (2)c与抛物线在y轴上的截距有关； (3) 与抛物线的对称轴
13、有关； (4)b2-4ac与抛物线与x轴交点的个数有关.,【变式训练】(2011汕头模拟)设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.当a=1时,判断函数f(x)在(1,+)上的单调性并用定义证明. 【解析】当a=1,x1时, f(x)=2x2+(x-1)|x-1|=2x2+(x-1)2=3x2-2x+1， 函数f(x)在(1,+)上单调递增. 设1x1x2, f(x1)-f(x2)=3x12-2x1+1-(3x22-2x2+1) =(x1-x2)3(x1+x2)-2,x1x2，x1-x20. 1x1x2， x1+x22得3(x1+x2)-20， f(x1)-f(x2)0,即f(x
14、1)f(x2), 函数f(x)在(1,+)上单调递增.,【例】已知函数f(x)=ax2+bx(a0)满足条件f(-x+5)= f(x-3)，且方程f(x)=x有等根 (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别是m,n和3m,3n？如果存在，求出m、n的值，若不存在，说明理由,【审题指导】(1)求f(x)的解析式，实际上是求a、b的值，由已知条件可得到关于a、b的两个方程，解方程组即可求解；(2)由于已知函数的定义域与值域，可化为由函数的单调性求函数的值域，列方程(组)求解,【规范解答】(1)f(x)满足条件f(-x+5)=f(x-3)， 函数的图
15、象关于直线x=1对称，故 =1 又方程f(x)=x有等根，即ax2+(b-1)x=0有相等的根， b=1 由得a= ，b=1, f(x)= x2+x.,(2)f(x)= x2+x= (x-1)2+ ，设存在实数m,n,使函数在区间m,n上，值域为3m,3n， 3n ，n ，mn ， 函数在m,n上为增函数，且有 解得：m=-4,n=0.,【规律方法】求二次函数y=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上的最值 (1)当 m时，函数在区间m,n上单调递增，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m n时，函数在区间m,n上的最小值为f( )，最大值为f(m)与f(n)中的较大者(m,n离 较远的一个取得最大值)； (3)当 n时，函数在区间m,n上单调递减， 最小值为f
