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1、为什么需要模糊(Fuzzy),1. 无法描述日常事物 日常生活中存在很多事物不存在精确的分类标准，对该事物是否属于某一类很难做出明确肯定的断言。,例：高低、冷热、快慢、年轻人、中年人、老年人,2. 容易引起逻辑悖论 传统的数学方法都是精确方法，是基于传统的二值逻辑，即非此即彼。但把经典的二值逻辑用于处理Fuzzy概念和Fuzzy命题时，将会在理论上导致逻辑悖论。,例：秃头悖论，沙堆悖论,为什么需要模糊(Fuzzy),3. 大师的话,爱因斯坦：“So far as the laws of mathematics refer to reality,they are not certain,And
2、so far as they are ceitain, they do not refer to reality.” 关于现实的数学定理是不确定的，而确定的数学定理并不能描述现实。,不相容原理：(L.A.Zadeh 1975 提出) “当一个系统复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减低，在达到一定的阈值时，复杂性和精确性将相互排斥。”,模糊(Fuzzy)是随机吗？,模糊性也是一种不确定性，但不同于随机性，模糊理论不同于概率论。,模糊性指对概念的定义以及语言意义的理解上的不确定性，主要是人为的主观理解上的不确定性。,随机性反映的是客观上的自然的不确定性，或者是事件发生的偶然性。,模糊集合,处理某
3、一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。,1、论域,2、集合,在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。,3、特征函数,设A是论域U上的一个集合，对任何uU，令,则称CA(u)为集合A的特征函数。显然有：,A= u | CA(u) =1 ,模糊集合,例1、设有论域：U= 1,2,3,4,5 ，A= 1,3,5 ，求其特征函数。,其特征函数为：,4、隶属函数,设U是论域，A是将任何uU映射为0，1上某个值的函数，即： A ：U0，1 u A(u) 则称A为定义在U上的一个隶属函数,模糊集合,5、模糊集,设A= A(u) | uU , 则称A为论域U上的一个模糊集。,当隶属函数只取0,1时
4、，隶属函数就是特征函数。,A (u)称为u对模糊集A的隶属度。,例2、设A表示远大于0的实数集合，则它的隶属度函数可以用下式来定义,计算5,10,20为属于集合A的隶属度。,模糊集合,表示5属于远大于零的程度为0.2，也就意味5算不上是远大于0的数。20属于大于零的程度为0.8，可以认为是远大于0的数,解：,模糊集的表示方法,模糊集合可以有以下两种表示方法：,1. 扎德（Zadeh）表示法,(1) 当论域U为离散集合时，一个模糊集可以表示为：,(2) 当论域U为连续集合时，一个模糊集可以表示为：,注：此处的积分和求和符号都不代表实际运算，只是一种表示方法而已。,模糊集的表示方法,2. 序对表示
5、法,模糊集中的每个元素都可以表示成（元素、隶属度）这样一个序对，基于这种思想，模糊集可表示如下：,例3 设论域U = u1(140), u2(150), u3(160), u4(170), u5(180), u6(190)(单位：cm) 表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属度A (u)为：0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1,使用扎德表示法和序对表示法表示这个模糊集,模糊集的表示方法,解：1.扎德表示法,由于集合是离散集合，因此使用第一种形式表示,2.序对表示法,模糊集的表示方法,例4 设定模糊集合“优秀”为A，隶属函数A(u)为：,使用扎德表示法和序对表示法表
6、示该模糊集A,此论域是连续的，所以：,解：1.使用扎德表示法,模糊集的表示方法,2.使用序对表示法,模糊集的运算,1. 相等,设有两个模糊集合A和B，A=B当且仅当它们的隶属函数在论域U上恒等，即,2. 包含,A包含于B（B包含A）当且仅当对于论域U上,记作：,记作：,模糊集的运算,3. 并,并（AB）的隶属度函数 AB是对A、B上所有uU的隶属函数逐点取大运算，即,4. 交,为取大运算，即取 A和 B的较大值,交（AB）的隶属度函数 AB是对A、B上所有uU的隶属函数逐点取小运算，即,为取小运算，即取 A和 B的较小值,模糊集的运算,5. 补,模糊集合A的不隶属函数 ，对所有的uU，被逐点定
7、义为,例5 设论域u=u1,u2,u3,u4,u5中的两个模糊子集为：,模糊集的运算,模糊集的运算,模糊集运算的基本定律：设U为论域，A、B、C为U中的任意模糊子集，则下列等式成立：,1. 幂等率,2. 结合率,3. 交换率,4. 分配率,5. 同一率,6. 零一率,7. 吸收率,8. 摩根率,9. 双重否定率,模糊集的截集,1. 水平截集,设0, 1, 且 A= u | uU, A(u)，则称A为A的一个水平截集，称为阈值或置信水平。,若A= u | uU, A(u)，则称A为A的一个强截集,性质,(1) 设A,B均为模糊集合，则有：,(2)若1，20, 1, 且12, 则,模糊集的截集,2
8、. 核、支集,设A为模糊集合，且 Ker A= u | uU, A(u)=1 Supp A= u | uU, A(u)0 则称Ker A为模糊集A的核，Supp A为模糊集A的支集。,若KerA，则称A为正规模糊集。,模糊集的截集,模糊集的截集,例6 设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 且分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的水平截集、核及支集。,解：1.水平截集,2.核、支集,模糊关系,1. 关系的定义,关系是客观世界存在的普遍现象。如父子关系、大小关系、属于关系、二元关系、多元关系、多边关系等等,直积（笛卡尔积）体现了两个集合之间的
9、关系。在普通集合中，设论域U和V，从U到V的一个关系定义为直积UV的一个子集R，记作：,例7 设有集合A=1,2,5，B=3,2，求A、B的二元关系R,解：,模糊关系,此处的关系R同样为二元关系。隶属函数表示形式为：,其隶属函数的映射：,元素(u0,v0)的隶属度为R(u0,v0) ，表示u0和v0具有关系R的程度,2. 模糊关系,设论域U和V，则UV 的一个子集R，就是U到V的模糊关系，同样记作：,模糊关系,例8 设有三种物品：苹果、乒乓球，书，分别用x1,x2,x3来表示，现在用两两相似程度来表示它们之间的模糊关系，且相似度如下表，试用扎德表示法表示模糊集合R,解：,模糊关系,当论域U、V
10、是有限集时，模糊关系R常常采用矩阵来表示，此时它又称为模糊关系矩阵,上题利用矩阵可表示成：,若存在两个模糊集合A，B，两个模糊集合的关系R可用下式进行计算：,模糊关系的计算,模糊关系,例9 设论域U=1,2,3;V=1,2，模糊集A、B分别为：,求模糊集A，B的关系R,矩阵表示为：,关系的合成,设R1是论域U和V的模糊关系，R2是论域V和W的模糊关系，那么R1和R2的合成是U到W的一个模糊关系，记作R1R2，其隶属度函数为,关系的合成实质表达的是一种关系的传递（推理）。,例10 某家中子女与父母的长相相似关系R为模糊关系：,用模糊矩阵R来表示为,关系的合成,该家中父母与祖父母的相似关系S也是模
11、糊关系，可表示为,用模糊矩阵S来表示为,那么家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度如何？,模糊推理,经典逻辑推理-三段论,人都会死,苏格拉底是人,苏格拉底会死,前提1：如果x是A,则y是B,前提2：如果x是A,结论： y是B,模糊推理,前提1：如果x是A,则y是B,前提2：如果x是A,结论： y是B,如果西红柿是红色的，西红柿是成熟的,颜色较红,西红柿较成熟,由于规则是模糊的，所以推理结论也是模糊的。模糊结论使用模糊度来表示。（如“成熟”的模糊度）,模糊推理,模糊推理的计算（模糊度的计算）,如何计算模糊规则 的模糊度?,(1) 扎德法,使用如下公式计算：,(2) Mamdani法,计算较为简单，使用广泛,模糊推理,例11 某单位的效益好，人员的奖金高。假设“好”的模糊集合为A，“奖金高”的模糊集合为B，计算当效益“较好”时，人员奖金情况。“较好”的模糊集合为A,解：需要首先计算模糊规则的模糊度,模糊推理,模糊规则采用Mamdani方法,模糊推理,计算奖金情况：,奖金的模糊集为：,可以看出，当效益“较好”时，4000元的奖金具有最大隶属度。符合奖金效益“较好”，则奖金“较好”的常识。,
