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1、第三章 电能质量分析数学方法,四川大学电气信息学院 肖先勇 2012年3月,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,许多数学分析方法已在电能质量领域得到应用，主要用于特性分析、检测、分类、定位、评估等方面。 主要方法包括：时域、频域和基于变换的方法等三类： 时域法应用最广泛，用时域仿真程序分析电能质量扰动，如EMPT、EMTDC、NETOMAC、Matlab、PSPICE等； 频域法主要用于谐波分析，包括：频谱分布、谐波潮流计算等； 基于变换（数学）的方法主要有：傅立叶变换法、短时傅立叶变换法、矢量变换法、小波变换法、S变换法，以及人工神经网络法等。,2012-03-
2、26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,一、 非正弦周期信号分解为傅里叶三角级数 任意周期性电压和电流等都可用一个周期函数表示： 其中：T基本周期。 非正弦周期函数满足狄里赫利条件时可分解为傅立叶级数，而在电力系统中的光滑函数通常都能满足这个条件。,第一节 傅里叶变换, 在一个周期内，周期信号 x(t) 必须绝对可积； 在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个极大值和极小值； 在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个不连续点，且在不连续点上， x(t) 的函数值必须是有限值。,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,傅里叶的三角级数形式为： 也可
3、写为： 式中：w1周期函数的角频率，h谐波次数。,对于h次谐波，上面两式中有以下关系：,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,典型波形傅里叶变换波形系数：,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,二、连续傅里叶变换 设f(t)为以连续非周期时间信号，若f(t )满足狄里赫利条件以及: 那么，f(t)的傅里叶变换存在，并定义为: 其反变化为：,式中，F(w)是w的连续函数，定义为信号f(t)的频谱密度函数或简称频谱，可进一步分解为实部、虚部、幅度谱、相位谱、能量谱：,2012-
4、03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,给定离散时间序列x1,x2,xN-1，设该序列绝对可和，即满足 则 (n0，1，,N-1 ) 被称为序列 的离散傅里叶变换。 (n0，1，,N-1) 被称为序列 的逆离散傅里叶变换。 式中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。而离散傅里叶序列 是以2p为周期的，且具有共轭对称性。,三、离散傅里叶变换,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,离散傅里叶变换与逆变换又可表示为：,因此，又可用矩阵形式表示为：,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,由式
5、 可见，要求出N点需要次复数乘法，N(N-1)次复数加法。 众所周知，实现1次复数乘法需要4次实数相乘和2次实数相加，实现1次复数加法则需要2次实数相加。当N很大时，计算量相当可观。例如，若N=1024，则需要104.8576万次复数实数相乘。所需时间过长，难以“实时”计算这是算法本身决定的。,离散傅里叶变换算法性能分析,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,由离散傅里叶变换式系数的共轭对称性，即 ，可见 ，幅频特性是与纵坐标轴对称的。由 的周期性可见： 即幅频特性为周期性的偶函数，如图： 当采样点数为N时，仅给出N/2个频谱分量的数值。例如，选取每周期128个采样
6、点时，只能得到64个及以下的谐波幅值。,离散傅里叶变换算法性能分析,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,因此，可对采样定理作如下解释： 采样频率至少是原信号最高频率的2倍以上(fs2fc)，采样才能正确地表述原信号的信息。将最高频率的2倍频率2fc称为奈奎斯特频率。 当采样频率低于内奎斯特频率时，原信号中高于fs/2的频谱分量将会低于fs/2的频率中再现，即出现频谱混叠，使频谱分析出现误差，如图：,离散傅里叶变换算法性能分析,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,为防止频谱混叠，可先用带宽低于fs/2的低通滤波器滤除高于fs/2的分量，
7、然后作离散傅立叶变换。这样原信号中低于fs/2的频率分量能得到准确刻画，但会失去高于fs/2的频率分量。 例如：对于方波信号，若不经低通滤波而对其采样作离散傅立叶变换，则会因频率混叠引入误差；若经低通滤波，如使其仅含7次以下的谐波分量，对其采样作16点以上的离散傅立叶变换频谱分析，不会出现混叠，但已先在方波中舍去了频率高于7次的谐波分量。,离散傅里叶变换算法性能分析,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,四、快速傅里叶变换,利用W因子的周期性和对称性导出高效的快速算法快速傅立叶变换算法(FFT)。 FFT使N点DFT的乘法计算量由N2次降到 次。如：当N=1024时
8、，计算量为5120次，仅为原来的4.88%。因此，人们公认，FFT是数字信号处理史上的一个转折点，也可称之为一个里程碑。,围绕FFT算法，新算法不断涌现，主要方向有两个：(1) 针对N等于2的整数次幂的算法，如：基2、基4和分裂基算法等；(2)N不等于2的整数次幂的算法，以Winograd为代表，如素因子算法和Winograd算法。 下面介绍经典Cooley-Tukey时间抽取(DIT)基2FFT算法:,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,对于离散傅里叶逆变换（IDFT）式:,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,证明分解成奇、偶两组后
9、计算量能减半。,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,当N=8，这时C(k), D(k), E(k), F(k)都是2点的DFT，无需再分解，即有：,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,将以上思路推广到点N=2M的DFT的一般情况，不难看出，第m次分解的结果是由2m个N/2m 点的DFT两两组成共2m-1个N/2m-1点的DFT。由于N=2M，通过M=log2N次分解后，最终达到了N/2个两点DFT的运算，从而构成了由x(n)到X(k)的M级运算过程。其迭代过程如图：,2
10、012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,傅里叶变换是从时域到频域的相互转换的工具。从物理意义上讲，其实质是把f(t) 波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样就可以把对原函数f(t)的研究转化为其权系数即傅里叶变换F(w)的研究。 从傅里叶变换式中可看出，这些标准基由正弦波及其高次谐波组成，因此，在频域内是局部化的。虽然傅里叶谱变换能将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从时域和频域对信号进行观察，但并不能把二者有机结合起来。这是因为，信号的时域波形中不包括任何频域信息，而其傅里叶谱是信号的统计特征，是对整个时域内的积分，没有局部化分析信号的能力，完全不具备时域
11、信息。也就是说，对于傅里叶谱中的某个频率，不能知道该频率是什么时候产生的。这样，在信号分析时就遇到了一个重要问题时域与频域的局部化矛盾问题。,傅里叶变换的特点：,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,在电能质量领域应用FFT时，必须满足的条件：满足采样定理要求采样频率必须是最高信号频率的2倍以上；被分析的波形必须是稳态的、随时间周期变化的。 当采样频率或信号不能满足上述条件时，利用FFT分析就会产生“频谱混叠”和“频谱泄露”现象，带来分析误差。 对于一些非平稳信号，如电压暂降等，由于信号在任一时刻附近的频域特征都很重要，且信号在局部有突变，仅从时域或频域上分析是不够
12、的，因此，不适合用傅里叶变换法来分析。这是由于FFT变换是对整个时间段的积分，时间信息没有得到充分利用，且信号若有任何突变，其频谱将散布于整个频带。这些问题，可用小波变换、S变换等方法来改进。,傅里叶变换的特点：,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,为了弥补傅里叶变换不能同时进行时域和频域局部分析的缺陷，Dennis Gabor于1946年提出了短时傅立叶变换(Short-time Fourier Transform，也称窗口傅立叶变换)。 短时傅立叶变换的基本思想是：在傅立叶变换的框架中，把非平稳过程看成一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过一个参数t的平移
13、来覆盖整个时域，也就是说采用一个窗函数g(t-t)对信号f(t)作乘积运算来实现在t附近的开窗和平移，然后再进行傅里叶变换。,五、短时傅里叶变换,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,短时傅立叶变换的表达式为：,可见，Gf(w,t)表示的是 的以t为中心、左右为Dt的局部时间内的频谱特性。窗口宽度Dt的大小决定了时间域的分辨率。 Gf(w,t)实际是f(t)g(t-t) ，即加窗后的f(t) 的傅氏变换。,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,设G(w)为窗口函数g(t)的傅氏变换，由 可知，在t=t0时，短时傅立叶变换实际上描述的是信号
14、频谱F(w)经频域窗 卷积平滑后的结果。,其平滑作用，对原函数频谱F(w)的影响由G(w)的窗口2Dw决定，因此，窗口函数g(t)的频域窗口2Dw的大小又决定了短时傅立叶变换的频域分辨率。 总之，短时傅立叶变换的时域和频域的分辨率是由窗函数在时域和频域的窗口大小直接决定的，一旦窗口函数g(t)选定，其时频分辨率就已经确定，并且不随频率w和时间t而变化。,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,本节作业,1、推倒FTT算法，并画出用FFT算法进行谐波分析的详细流程图，在MATLAB上实现（网上可下载到程序
15、，但请学会用，并能正确理解和解释）； 2、请分析短时傅里叶变换在分析非平稳扰动时较FFT算法的优点和原因，并分析窗函数选取的原则和要求； 3、请查阅海森堡测不准原理的最原始文献，并简要说明测不准原理的数学和物理意义。,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,第二节 小波变换简介,针对电力系统中大量存在的短时的、非平稳电能质量扰动，由前面介绍的基于FT的算法特点可知，在时域、频域矛盾难以解决，但加窗傅里叶变换较原有FT变换的优点在于能使被分析信号特征局部化，如果在保留局部化特性的基础上，还能更进一步改进变换基，使之能同时反映时域和频域特性，即可更好地分析电能质量扰动特性
16、。,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,小波变换是在应用数学领域的一门新兴学科，近1020年来得到了迅速发展。与傅里叶变换、短时傅里叶变换相比，小波变换是时间和频率的局域变换，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，而在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，因而对被分析信号具有自适应性； 通过伸缩和平移运算功能，对信号进行多尺度细化分析，能有效地从信号中提取信息，解决了傅里叶变换不能解决的许多问题，被誉为“数学显微镜” 。 正由于小波变换的时间频率局域化特性，使其在分析具有暂态、非平稳、突变特性的电能质量扰动方面具有天然优势，因而成为电能质量领域应用最广泛和重要的数学工具,一、概述,2012-03-26,四川大学电气工程及其自动化专业2012年用,近年来，国内外众多学者用小波变换对电能质量问题进行研究，主要集中在对暂态电能质量扰动检测和定位、扰动信号数据压缩与消噪、
