《2012走向高三高考人教B版数学教程97节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012走向高三高考人教B版数学教程97节（86页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、重点难点 重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离 难点：将立体几何问题转化为向量问题,知识归纳 一、空间的角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小,3二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角 作二面角的平面角的常用方法有： (1)定义法：
2、根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角,(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是PBA是二面角的平面角(或其补角) (3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别与两个面的交线，构成二面角的平面角,二、空间的距离 1(1)两点间的距离连结两点的线段的长度 (2)点到直线的距离从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度 (3)点到平面的距离从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度 连接平面外一点与平面内任一点的线段中，
3、垂线段最短 (4)平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度,(5)异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度 (6)直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度 (7)两平行平面间的距离两个平面的公垂线段的长度,2求距离的一般方法和步骤 求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是： 找出或作出有关距离的图形； 证明它符合定义； 在平面图形内计算 空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法,四、平面的法向量与平面的向量表示 1如果向量a的
4、基线与平面垂直，则a称作平面的法向量,五、其它有关问题 1在求立体几何中线段的长度时，利用aa|a|2. 2求平面的法向量的方法,误区警示 1建立坐标系一定要符合右手系原则 2注意一个向量在另一个向量上的投影的数量的求法及与距离的关系 3平面的法向量与直线的方向向量在求空间的角中起着关键作用，要注意向量的夹角与各种角的联系与区别,一、向量在研究空间直线与平面位置关系中的应用 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量的坐标；结合公式进行论证，计算；转化为几何结论 借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的
5、坐标运算，如： 1用向量方法研究两直线间的有关位置关系 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b. (1)l1l2或l1与l2重合ab存在实数t，使atb. (2)l1l2abab0.,2用向量方法研究直线与平面的有关位置关系 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，v1、v2是与平行的两个不共线向量 (1)l或l存在两个实数、，使av1v2an0. (2)lan存在实数t，使atn.,3用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面、的法向量分别为n1、n2. (1)或与重合n1n2存在实数t，使n1tn2. (2)n1n2n1n20. 若v1、v2是与平行的两个不共线向量，n是平面的法向量 则或
6、与重合v1且v2存在实数、，对内任一向量a，有av1v2.,二、用向量法求空间角 1求异面直线所成的角 设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，则a，b与相等或互补，,三、用向量法求空间距离 1求点到平面的距离,例1 如图，两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，EBC90，M、N分别是BD、AE上的点，且ANDM.求证：MN平面EBC.,(2)证明直线l平面时， 可取直线l的方向向量a与平面的法向量n，证明an0； 可在平面内取基向量e1，e2，证明直线l的方向向量a1e12e2，然后说明l不在平面内即可；,多面体的直观图及三视图分
7、别如图所示已知点M在AC上，点N在DE上，且AMMCDNNEa. 求证：MN平面BCEF.,MN平面BCEF，MN平面BCEF. 自己再建立空间直角坐标系，用坐标法证明.,例2 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M平面EFB1.,证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，,点评：证明直线 l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明ab0. 证明直线l与平面垂直时，取的法向量n，l的方向向量a，证明an. 或取平面内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明
8、ae0，be0. 证明平面与垂直时，取、的法向量n1、n2，证明n1n20.或取一个平面的法向量n，在另一个平面内取基向量e1，e2，证明ne1e2.,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点， (1)求证：平面ADE平面B1C1F； (2)求证：平面ADE平面A1D1G； (3)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.,取y11，z12，n1(0,1，2) 同理可求n2(0,1，2) n1n2，平面ADE平面B1C1F.,例3 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( ),分析：正四棱柱
9、容易建立坐标系，求出点的坐标，故用坐标法求解,答案：D,(2010衡水市模考)正四棱锥PABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于( ),答案：D,可连结AC，取AC中点O，则EOPA，BEO为所求角，通过解BEO求得.,例4 (2010湖南理)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点 (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论,这说明在棱C1D1上存在一点F(F为C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.,解法2：(1)如图(a)所示，取AA1的中点M
10、，连结EM，BM. 因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD. 又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1， 所以EMABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角 设正方体的棱长为2，则,(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE. 事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD1，FG. 因为A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1CA1B. 又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EGD1C，从而EGA1B. 这说明
11、A1，B，G，E共面所以BG平面A1BE.,因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1FBG. 而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE. 点评：直线与平面斜交时，直线的方向向量与平面的法向量所成的角，不等于直线与平面所成的角，应弄清它们之间的关系，即sin|cos|.,所以直线CA1与平面A1ABB1所成的角为45. 答案：45,(1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角SAMB的余弦值,分析：由条件知AD、CD、SD两两垂直，SD与底面矩形的边
12、长已知，故建立坐标系用坐标法求解比较简便 (2)可分别求出平面SAM和MAB的一个法向量，利用法向量的夹角与二面角的关系求解,解析：解法1：(1)如图，以A为坐标原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，,(2)PA平面ABCD，PABC， 又ABCD是矩形，ABBC， BC平面BAP，BCPB， 又由(1)知PC平面BEF，直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角， 在PBC中，PBBC，PBC90，PCB45. 所以平面BEF与平面BAP的夹角为45.,例6 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.求异面直线DA1与AC的距离,例7 在正方体ABC
13、DA1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点 (1)求证：平面A1DB平面EFG. (2)求平面A1DB与平面EFG之间的距离 分析：(1)证面面平行，只需证其中一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面 (2)计算面面距离，找公垂线段，求其中一个平面内任一点到另一平面的距离，用“体积法”计算，用空间向量求,解析：(1)证明：以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_,1(2010山东济南)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1
14、BC2，D为AA1上一点,(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD平面B1C1D； (2)若二面角B1DCC1的大小为60，求AD的长 解析 解法一：(1)A1C1B1ACB90， B1C1A1C1， 又由直三棱柱的性质知B1C1CC1， B1C1平面ACC1A1. B1C1CD,由可知CD平面B1C1D， 又CD平面B1CD，故平面B1CD平面B1C1D. (2)由(1)可知B1C1平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过C1作C1ECD，交CD或其延长线于E，连接EB1， 由三垂线定理可知B1EC1为二面角B1DCC1的平面角，B1EC160.,解法二：(1)如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1),又DC1C1B1C1，CD平面B1C1D. 又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.,点评 解法二中建立空间直角坐标系后，要证平面B1CD平面B1C1D，可先求出两个平面的法向量p、q，验证pq0.,请同学们认真完成课后强化作业,
