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1、第二章(8-12) 分子动理学理论（分子动理论） 的平衡态理论,8 麦克斯韦速率分布,一、分子速率分布的测定,金属 蒸汽,胶片屏,斯特恩实验,-可通过两缝,二、气体分子速率分布函数,速率分布函数：速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比,即,-反映分子速率分布v附近单位速率区间内的概率大小,在0-区间有,-归一化条件,在v1-v2区间,在v-v+dv区间的分子数占总分子数的百分比为,三、麦克斯韦速率分布定律,-麦克斯韦速率分布函数,1859年麦克斯韦从理论上导出平衡状态下气体分子速率分布函数,麦克斯韦速率分布曲线,四、气体分子的三种速率,1.最概然速率vp： 与f(v) 的极大值对
2、应的速率,令,则,令,2.平均速率,3.方均根速率,例题、图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？,解：,(1) T1 T2,(2) 绿：氧 黄：氢,例题、比较下列各气体在大气中(290K)的逃逸能力： H2 , He, H2O, N2, O2, Ar, CO2.,解：,得 : H2 , He, H2O, N2, O2, Ar, CO2. km/s: 1.90 1.34 0.63 0.51 0.48 0.42 0.41,所以， 脱离地球的逃逸速度
3、11.2km/s.,分别计算各气体的均方根速度：,将各气体的均方根速度与逃逸速度11.2km/s比较，大者容易逃逸。,例题、有N个粒子，其速率分布函数为:,1、作速率分布曲线。 2、由N和vo求常数C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。,解：,1、处于VV+dV速率区间的分子数dN dN=,例题、有N个分子，其速率分布函数为:,2、处于0 VP速率区间的分子数N N=,3、求0 VP速率区间的分子平均速率：,讨论,速率介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算,对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为,思考题：解释下列表达式的含义,表示分布在速率v 附近、速率区间d
4、v内的,分子数密度。,表示分布在速率v 附近、速率区间dv内的,分子数。,表示速率小于v 的分子数占总分子数的百,分比。,表示分布在 的速率区间内所有分,子与总分子数的比值（是1）。,（ 归一化条件）,表示分布在 区间内的分子数。,1）,2）,例 已知分子数 ，分子质量 ，分布函数 求 1） 速率在 间的分子数； 2）速率 在 间所有分子动能之和 .,速率在 间的分子数,例有0oC平衡状态下的氧气，计算速率在300-310m/s区间内氧分子数的百分率,解：速率区间较小，可用,一、分子沿 x方向速度处于 vx 附近的概率密度,：速度区间 内的分子数,：分子总数,同样有：,假定 互相独立。,9 麦
5、克斯韦速度分布,二、分子速度处于 附近的概率密度速度分布函数,3、平衡态分子速度取向各方向等概率，F 应只是速度大小的函数,要求 ，即,由 可知 ，设,4、速度分布律速率分布律,5、确定常数,由归一化条件,得麦克斯韦速度分布律：,（积分公式）,分子平动动能：,例. 单位时间、碰到器壁单位面积分子数,单位时间，碰到单位面积，速度在区间 dvx 的分子数,Joke 物理学家中自杀的有做统计力学的Boltzmann 和Ehrenfest. 于是Caltech 的Goldstein 在上统计物理第一节课时说: Ludwig Boltzmann, who spent much of his life s
6、tudying statistical mechanics, died in 1906, by his own hand. Pual Ehrenfest, carrying on the work, died similarly in 1933. Now it is our turn to study statistical mechanics,一、重力场中分子数按高度的（等温）分布,恒温气压公式（高度计原理）：,两边积分，得,证明：,平衡态,不同高度处温度相同,的分子数（速度任意）：,推广：温度T平衡态下，分子处于（x, y, z）附近“位形空间 (configuration space)”
7、 区域,其中 为该小区域内一个分子的势能。,二、玻耳兹曼分布律,描述分子（质量已知）状态的微观量为,位形空间区间,对应的体积元（相空间体积元）为,速度空间区间,求分布在相空间体积元d内的分子数。,占总分子数 的百分比：,【思考】上式如何得到？,玻耳兹曼分布律：,在温度为T的平衡态，系统（气体、液体、固体）的粒子在某一状态区间(相空间体积元）中的粒子数，与该状态区间的一个粒子的能量有关，而且与因子e-/kT 成正比。因子 e-/kT 称为玻耳兹曼因子。,利用上式，可计算物理量的统计平均值。,玻耳兹曼分布律是气体动理论的基础，它不仅适用于气体，也适用于由相互作用比较微弱的分子所组成的其它体系（近独
8、立子体系）。,例. 按量子理论，原子能级是分立的，H原子,n = 1,2,3,室温 T = 300K,原子处于基态的最多，处于激发态的极少。,三、简单应用举例,保守力场中分子总能量：,(龙卷风、台风、飓风外沿与风眼),分子动能,11 能量按自由度均分定理,一、自由度,自由度：确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标的数目。它反映了运动的自由程度,平动动能,=,火车：被限制在轨道上运动，自由度为1,飞机：在空中飞行，自由度为3,轮船：在一水平面上运动，自由度为2,1.刚体的自由度,刚体有6个自由度：,3个转动自由度,3个平动自由度,刚体绕CA轴转动,确定C的位置,运动刚体的自由度：,结论：,自由刚
9、体有六个自由度,三个平动自由度,三个转动自由度,2.气体分子的自由度,常温下可不考虑分子的振动,单原子分子：一个原子构成一个分子,刚性多原子分子：如三个原子构成一个分子,刚性双原子分子：两个原子构成一个刚性分子,3个平动自由度,5个自由度 = 3个平动+2转动（自由度）,6个自由度,二、能量按自由度均分原理,-每个平动自由度的动能为,由于任一运动形式的机会均等，有,气体分子任一自由度的平均动能都等于,-能量均分定理,自由度为 i 的分子，其平均动能为,讨论：质心运动平均动能的定理是普遍的。 分子总动能为:质心运动动能+内部运动动能之和。而内部运动动能=转动动能+振动动能，则是与激发状态有关。,
10、三、能量均分定理的证明（补充）,在温度为T的平衡态下，用玻耳兹曼分布对分子能量表达式中任何一个平方项作统计平均，平均值都等于 。,平方项的平均值,即,1、平动动能,2、转动动能,3、振动势能,四、理想气体的内能,对理想气体，可忽略分子间的相互作用力，即可忽略相互作用势能,分子动能,气体内能,分子间相互作用势能,1mol理想气体的内能,-理想气体内能是温度的单值函数,Mkg理想气体的内能,练习：当刚性双原子分子理想气体处于平衡态时，一个分子的平均平动动能（ ） A大于一个分子的平均转动动能 B小于一个分子的平均转动动能 C等于一个分子的平均转动动能 D与一个分子平均转动动能谁大谁小是随机变化的,
11、例题、两容积相同的容器中，分别装有氦气和氢气，其内能分别用E1和E2表示，若压强相同，则： A E1 =E2 ； B E1 E2 ；C E1 E2 ；D 无法确定,解：（1）,储有氧气(处于标准状态)的容器以速率v=100 m/s作定向运动，当容器突然停止运动，全部定向运动的动能都变为气体分子热运动的动能，此时气体的温度和压强为多少?,例题,12 气体分子的平均自由程,碰撞，非平衡态平衡态，起重要作用。,统计平均值,连续两次碰撞间自由路程,无规则性,有规律，表示碰撞的基本特征。,气体分子在连续两次碰撞间所可能经过的各段自由路程的平均值,1. 平均自由程：,平均速率,平均碰撞频率：一个分子单位时间内所受碰撞的平均次数,2. 推导 的关系：,平衡态理想气体，分子看作直径为 d 的刚球，“跟踪”一个分子A，设 A 以平均相对速率 相对其它分子运动，其它分子静止。,中心在截面为 柱体内的分子都能被A碰撞！,真空度为104mmHg（1.3310-2pa）的灯泡内（0C），空气的 ，大于灯泡的线度。气体分子已经很少碰撞。但这时 ！,
