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1、1,第 讲,3,函数的值域,第二章 函数,2,3,一、基本函数的值域 1. 一次函数y=kx+b (k0)的值域为 . 2. 二次函数y=ax2+bx+c (a0)的值域：当a0时，值域为 ;当a0时，值域为 .,4,R,3. 反比例函数y=kx (x0，k0)的值域为 . 4. 指数函数y=ax (a0，a1)的值域为 . 5. 对数函数y=logax (a0，a1，x0)的值域为 . 6. 正、余弦函数的值域为 ，正、余切函数的值域为 .,5,y|y0，yR,R+,R,-1，1,R,二、求函数值域的基本方法 1. 配方法常用于可化为二次函数的问题. 2. 逆求法常用于已知定义域求值域(如分
2、式型且分子、分母为一次函数的函数).,6,3. 判别式法可转化为关于一个变量的一元二次方程，利用方程有实数解的必要条件，建立关于y的不等式后求出范围.运用判别式方法时注意对y的端点取值是否达到进行验算. 4. 不等式法几个变量的和或积的形式. 5. 导数法利用导数工具，结合函数的单调性，讨论其值域.,7,1.设函数f(x)= 1-x2(x1) x2+x-2(x1), 则 的值为( ) f(x)= 1-x2(x1) x2+x-2(x1) 故选A.,8,f(2)=4,2.函数 的值域为( ) A. (-，1) B. C. D. 故选C.,9,C,3.函数y=f(x)的值域是-,10，则函数y=f(
3、x-10)+的值域是( ) A. -,10 B. 0,+10 C. -10,0 D. -10, 因为y=f(x) 所以函数y=f(x-10)+的值域是 0,+10，故选B.,10,B,题型一：用配方法与换元法求函数的值域 1. 求下列函数的值域： (1) (2) (3),11,(1)(配方法) 设=-x2-6x-5(0)， 则原函数可化为 又因为=-x2-6x-5=-(x+3)2+44， 所以04，故0,2， 所以 的值域为0,2.,12,(2)(代数换元法) 设 则x=1-t2， 所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+ 5 (t0)， 所以y5， 所以原函数的值域为(-,5.,
4、13,(3)(三角换元法) 因为1-x20，所以-1x1， 故可设x=cos,0,， 则y=cos+sin= sin(+ ). 因为0,， 所以 所以 所以 所以原函数的值域为,14,点评：配方法求函数的值域时，一是注意找到相应的二次式，二是注意自变量的取值范围；运用换元法求函数的值域时，注意新变元的取值范围.,15,设函数f(x)=log2(3-2x-x2)的定义域为A，值域为B，则AB= . 由3-2x-x20，得-3x1， 所以A=(-3，1). 因为03-2x-x2=4-(x+1)24， 所以f(x)2， 所以B=(-，2，故AB=(-3，1).,16,题型二：用逆求法与判别式法求函数
5、的值域 2. 求下列函数的值域: (1) (2),17,(1)解法1：(逆求法) 由 解出x，得 因为2y+10， 所以函数的值域为y|y-12，且yR. 解法2：(分离常数法) 因为 又 所以y-12. 即函数的值域为,18,(2)(判别式法) 由 得yx2-3x+4y=0， 当y=0时，x=0， 当y0时，由0得 因为函数的定义域为R， 所以函数 的值域为,19,点评：逆求法又称为反函数法，如形如f(x)=ax+bcx+d的函数，可以用逆求法来求解.对于定义域为R的函数式，若能变形为关于自变量x的二次方程形式，利用此方程有解，得到关于y的判别式的关系式，由此得出值域；若定义域不为R，此时还
6、需根据根的范围来确定值域.,20,函数 的值域为 . 由 ， 得 因为x0，所以 解得 所以函数的值域为,21,题型三：利用函数的单调性求函数的值域 3. (原创)已知函数 (1)若函数的定义域是-2，-1，求函数的值域； (2)若函数的定义域是 ，求函数的值域.,22,由 得 (1)当x-2，-1时， 得 所以f(x)在区间-2，-1是减函数， 所以当x=-2时，f(x)max=f(-2)=3， 当x=-1时，f(x)min=f(-1)=-1， 所以函数的值域是-1，3.,23,(2)由 可得x=1. 所以当 时，f (x)0， 所以f(x)在区间 上是减函数， 同理可得f(x)在区间(1，
7、2)上是增函数. 由 知， 当定义域为 函数的值域为3，5.,24,点评：利用函数的单调性求函数的值域，其策略是：首先判断函数的单调性或函数的单调区间，然后根据单调性求函数的最值，再得出函数的值域.,25,函数 的值域是 . 函数 的定义域为 因为函数 在 上为单调递增函数， 所以当 时， 故原函数的值域为,26,若存在x2，5，使等式 成立，求a的取值范围. 由题设，当x2，5时， 成立. 令 即x=t2+1，t1，2， 则 所以当t1，2时，a-3，-1.,27,1.要求熟记各种基本函数的值域. 2. 求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的作用.,28,3. 已知函数的定义域或值域，求参数的范围，是一种逆向思维.解决这类问题要求对定义域、值域的概念及函数单调性有较深刻的理解，可以变换角度后构造新的函数，把求参数的范围转化为求新的函数的值域问题.,29,
