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1、6.5 Gauss 求积公式,1. Gauss 求积公式 设插值型的数值积分公式：,前面讲述的方法（lagrange插值型数值积分法）是事先给定积分节点xk 。例如Newton-Cotes公式把区间a , b 的等分点作为求积节点，这样所求积分公式的代数精度至多为n+2。,现在取消对积分节点的限制，让它与Ak 一样，作为一个待定常数，这样在数值积分公式(1)中需要确定的系数为xk和Ak（k = 0, 1, , n），共2n+2个系数。根据代数精度的概念，要确定这2n+2个系数（xk和Ak），需要解如下2n+2个方程构成的非线性方程组,若有解，则得到的插值型的数值积分公式（1）至少有2n+1次代
2、数精度。,1. Gauss 求积公式,但是，考虑2n+2次多项式：,它只在节点xi（i = 0,1,n）处为零，在其它点处均大于零，所以,而 .,故插值型的数值积分公式（1）对于2n+2次多项式 不准确成立，可知其代数精度仅为2n+1。,1. Gauss 求积公式,定义 6.5.1 若插值型求积公式,具有 2n +1 次代数精度, 则称该求积公式是 Gauss 求积公式, 相应的求积节点 xk ( k = 0, 1, , n ) 称为Gauss点。,例 6.5.1 确定求积公式中的待定参数 A0 , A1 , x0 , x1,解：令 f (x) = 1, x1, x2, x3, 则有下列方程组
3、,此求积公式具有 3 次代数精度,有后面的讨论可知，此求积公式为Gauss 求积公式,因此 。,确定 Gauss 求积公式的关键在于确定 Gauss 点。 因为如果先确定了 Gauss 点，再确定其求积系数 Ak ( k = 0, 1, . . ., n ) 时将变为线性方程组。解线性方程组要比解非线性方程组方便得多。,如上例，若事先知道 和 ，则求积公式变为,再计算A0和A1时，它们已成为线性关系，取 f (x) = 1和 x1可得到,解得A0= A1=1。,定理 6.5.1 插值型求积公式中的求积节点 xk ( k = 0, 1, n) 是 Gauss点的充分必要条件是 与任意次数不超过
4、n 的多项式P ( x ) 均正交, 即满足,推论 6.5.1 在区间 a , b 上 n + 1次正交多项式 gn+1( x ) 的零点即为 Gauss 点。,关于 Gauss 点的求法 , 有如下定理。,2. Gauss-Legendre 求积公式,这是因为:,设 的首项系数为 ，则,.,于是,常见Gauss-Legendre求积公式,当n =0 时，一次勒让德(Legendre)多项式P1( x ) = x的零点（Gauss点）x0 = 0，取其为求积节点，由(6.5.9)确定出A0 = 2。从而得到一点Gauss-Legendre 求积公式,即A0由,来确定。,常见Gauss-Lege
5、ndre求积公式,当n = 1时，二次勒让德（Legendre）多项式,它有两个零点(Gauss点) ,取它们为求积节点，由（6.5.9）确定出A0 = A1 = 1。从而得到二点Gauss-Legendre 求积公式,常见Gauss-Legendre求积公式,一点Gauss-Legendre 求积公式,二点Gauss-Legendre 求积公式,三点Gauss-Legendre求积公式,15 个节点的Gauss-Legendre求积系数,15 个节点的Gauss-Legendre求积系数（真值）,续Gauss-Legendre求积系数（真值）,对于一般的区间a, b，可作坐标变换,得到,对上
6、式右端的积分可采用标准Gauss-Legendre求积公式进行计算。,例 6.5.3 利用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分,解: 令 ，则,例 6.5.4 构造 的 Gauss-Legendre 求积公式, 使其具有 7 次代数精度.,解: 由 2n +1=7, 求得 n = 3, 这表明有4个求积节点, 3个小区间. 作变量置换令 x = 2t + 4 , 则有,由上表有,20.3478548 f ( 2(-0.8611363) + 4),+ 0.3478548 f (2(0.8611363) + 4) + 0.6521452 f (2(-0.3398810) + 4) +
7、0.6521452 f (2(0.3398810) + 4) ,3. 带权的Gauss 求积公式,考虑带权的积分 其中 为权函数. 若 , 即为通常的积分.,则,其中 (6.5.15),上式称为带权的插值积分公式, Ak 是其求积系数.,从而有, (6.5.14),定义6.5.2 若带权的插值型求积公式具有 2n+1 次代数精度, 则称其为Gauss 求积公式, 相应的求积节点 xk ( k = 0, 1, . . ., n ) 称为 Gauss 点.,与不带权的Gauss 点的求法类似 , 有如下定理.,定理 6.5.2 带权的插值求积公式中的求积节点 xk (k = 0, 1, . . .
8、, n) 是Gauss 点的充分必要条件是 与任意次数不超过 n 的多项式 P ( x ) 均在区间 a , b 带权 正交, 即满足,推论 6.5.2 在区间 a , b 上 带权 的 n + 1次正交多项式 gn+1(x) 的零点即为Gauss 点.,Gauss-Chebyshev 求积公式,其Gauss点为 n +1次 Chebyshev多项式 Tn+1(x) 的零点，即,在区间 -1, 1, 权函数为 , 建立的 Gausss 求积公式为,称为 Gauss-Chebyshev 求积公式.,其求积系数为,同理可以求出相应的 Gauss-Laguerre 公式与Gauss-Hermite
9、公式. 显然仅对于某些特殊的区间和特殊的权函数,可以利用正交多项式的零点来确定 Gauss 点。,综上，Gauss求积公式构造的方法有二： 待定系数法，即解关于Ak和xk 的非线性方程组； 先确定 Gauss 点，然后再确定其求积系数。,4. Gauss 求积公式的余项, 收敛性与稳定性,定理 6.5.3 设函数 f (x)C2n+2a , b, 则 Gauss 求积公式的余项为,Gauss 求积公式求积系数有如下性质:,即 Gauss 求积公式求积系数都是正的.,由余项公式可直接得出,Gauss 求积公式的数值稳定性,设 f (xk) 的近似值为,记,由 Gauss 求积公式和Ak 0, 则
10、有误差估计,令,其中,是一个大于零的常数. 由此可知 Gauss 求积公式是数值稳定的.,定理 6.5.4 对任意的 f (x) Ca , b, 则 Gauss 求积公式均收敛, 即有,对于 Gauss 求积公式的收敛性, 有如下的定理,6.6 数值微分,本节讨论数值微分。即对于定义在区间a, b 上，由列表给出的函数 y = f (x)：,如何计算函数 f (x) 的导数？,1. 插值型数值微分公式,由上述列表函数,我们可以建立f (x)的n次Lagrange插值多项式Ln(x), 根据 f (x) Ln (x), 可以得到插值型数值微分公式,能否举个例子说明这样做,不总是合理的？,由于La
11、grange插值多项式Ln(x) 的余项为,其中 , 且依赖于x.,对式 (6.6.3) 两边求导得,(6.6.4),误差估计式中含有不确定函数 (x) 的导数,可记为,但当计算插值节点处的导数时, 因n+1(xk) = 0, 这时数值导数的余项公式可以表示为,从而可以对节点处误差作出适当的估计.,下面, 我们在等距节点情况下讨论函数 f (x) 在插值节点处导数的求法.,(6.6.4),2. 两点数值微分公式,已知在两个插值节点 x0, x1上的函数值 f (x0), f (x1), 要计算 f (x) 在x0, x1处的导数. 由线性插值公式,令 h = x1x0 , 将上式求导得,由余项
12、公式 (6.6.5),可得,带余项的两点数值微分公式,若略去余项, 可得两点数值微分公式,截断误差为O(h) .,注：h = x1x0,3. 三点数值微分公式,已知 f (x) 在三点 处的函数值分别为 f (x0), f (x1) 和 f (x2).,上式对x求导数得,从而由,有,由式 (6.6.5) 可得带余项的三点数值微分公式,若略去余项, 有三点数值微分公式,截断误差均为 O(h2) .,还可以建立高阶导数的数值微分公式.,对(6.6.9),再求导一次，有,故有二阶三点数值微分公式,利用式(6.6.2),由余项公式 (6.6.3),可得带余项的二阶三点数值微分公式,而对于 ,可以利用T
13、aylor公式推出,4. 利用三次样条插值函数求数值导数,基本思想就是在区间a , b 上, 根据互异的节点 a = x0 x1 x2 . . . xn = b 及函数值yk = f (xk) (k = 0, 1, , n) , 构造三次样条函数S(x), 于是 f (x) S (x).,从而,所以可以利用它们来计算 f (x)的各阶数值导数(一阶,二阶和三阶).,以三弯矩公式为例, 有,这里,这样,从而, 在插值节点处的导数有,用三次样条插值函数计算数值导数, 在一定条件下,（如f (x)有连续四阶导数）有如下误差估计式：,其中 表示的同阶无穷小量 .,因此，用三次样条插值函数求数值导数比用
14、插值多项式可靠性大,具体解法如下： 首先构造一个三次样条插值函数， 然后对其求导，用计算出的导函数作为f(x)的近似值.,5. 数值微分的外推算法,由三点数值微分公式 ( 6.6.11 ),下面研究上式的截断误差.,有,由Taylor公式有,上两式相减整理后, 得,上两式相减整理后, 得,即得,由,对于固定的 x,上式的误差估计式正好符合Richardson 外推算法.,是与h 无关的常数.,由外推算法, 选取,有,其中 逼近于 的误差为 .,此算法的控制条件是,是预先给定的精度,本章小结,数值积分的基本概念、思想与理论 数值积分公式、插值型数值积分公式、余项、代数精度、收敛阶 插值型数值积分及其数值稳定性 Newton-Cotes 公式，复化求积公式、变步长的求积公式、 Richardson外推算法与Romberg求积公式、Gauss 求积公式 数值微分的思想与各种方法 两点、三点数值微分公式、样条插值函数求数值导数、外推算法,本章结束,准备复习考试了！,
