《2012届高三高考数学一轮复习——九单元立体几何3节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012届高三高考数学一轮复习——九单元立体几何3节（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,其中当=1时, 平行四边行MNPQ的面积达到最大值 故当点M位于AC中点时,平行四边行MNPQ的面积 最大.最大面积为,第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,1. 直线与平面垂直 (1)定义:如果直线l与平面内的_都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直.这条直线叫做_,这个平面叫做_,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的_,垂线段的长度叫做_. (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的_直线垂直. (3)判定定理:如果一条直线与平面内的_ 垂直,则这条直线与这个平面垂直. (4)推论:如果在两条平行直线中,_,那么另一条也垂直于这个平面. (5)
2、性质定理:如果两条直线_,那么这两条直线平行. 2. 平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是_,就称这两个平面互相垂直. (2)判定定理:如果一个平面过另一个平面的_,则这两个平面互相垂直. (3)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内_的直线垂直于另一个平面.,任意一条直线,平面的垂线,直线的垂面,垂线段,点到平面的距离,任意一条,两条相交直线,有,有一条垂直于一个平面,垂直于同一个平面,直二面角,一条垂线,垂直于它们交线,题型一 线线垂直 【例1】如图,=CD,EA,垂足为A,EB,垂足为B, 求证:CDAB.,分析:要证CDAB,只需证CD平面
3、ABE即可. 证明=CD,CD,CD. 又EA,CD,EACD, 同理EBCD. EACD,EBCD,EAEB=E, CD平面EAB.AB平面EAB,ABCD. 学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理,等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.,举一反三 如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD 所在的平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G. 求证:AESB,AGSD.,证明：SA平面ABCD,BC平面ABCD, SABC.又BCAB,SAAB=A,BC平面
4、SAB. AE平面SAB,BCAE. SC平面AEFG,AE平面AEFG,SCAE. 又BCSC=C,AE平面SBC. AESB.同理可证AGSD.,题型二 线面垂直 【例2】如图,P为ABC所在平面外一点,PA平面 ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.,求证: (1)BC平面PAB; (2)AE平面PBC; (3)PC平面AEF.,分析:要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面 内的两条相交直线垂直即可. 证明:(1)PA平面ABCPABC ABBC BC平面PAB. PAAB=A ,(2)AE平面PAB,由(1)知AEBC AEPB AE平面PBC. PBBC=B ,(3)
5、PC平面PBC,由(2)知PCAE PCAF PC平面AEF. AEAF=A 学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的线线垂直又可以产生有利于题目的线线垂直,在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用,由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.,举一反三 2.如图所示,P是ABC所在平面外一点,且PA平面 ABC,若O、Q分别是ABC和PBC的垂心. 求证:OQ平面PBC.,证明：连结AO并延长交BC于E,连结PE. PA平面ABC,BC平面ABC, PABC. 又O是ABC的垂心,BCAE.
6、PAAE=A, BC平面PAE,BCPE,PE必过Q点. OQ平面PAE,OQBC. 连结BO并延长交AC于F.,PA平面ABC,BF平面ABC,PABF.,又O是ABC的垂心,BFAC,BF平面PAC. PC平面PAC,BFPC. 连结BQ并延长交PC于M,连结MF. Q为PBC的垂心,PCBM.BMBF=B, PC平面BFM.OQ平面BFM, OQPC.PCBC=C, OQ平面PBC.,题型三 面面垂直 【例3】如图所示,在斜三棱柱 中,底面是 等腰三角形,AB=AC,侧面 底面ABC. (1)若D是BC的中点,求证:AD ; (2)过侧面 的对角线 的平面交侧棱于M, 若AM=MA1,求
7、证:截面MB 侧面 .,（2）要证明截面MBC1侧面 ，只要证明截面MBC1 经过侧面 的一条垂线即可.,分析:（1）要证明AD ,只要证明AD垂直于 所在的平面 即可.显然由ADBC和面面垂直 的性质定理即可得证.,证明:(1)AB=AC,D是BC的中点, ADBC. 底面ABC侧面 AD侧面 . ADCC1. (2)延长B1A1与BM的延长线交于点N,连结C1N. AM=MA1,学后反思 本题中平面ABC平面 的应用是关键,一般地有两个平面垂直时要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.,举一反三 3. 已知:平面PAB平面ABC,平面PAC平面
8、ABC,AE平面PBC,E为垂足. (1)求证:PA平面ABC; (2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形.,证明：如图,在平面ABC内取一点D,作DFAC于F, 平面PAC平面ABC,且交线为AC, DF平面PAC,PA平面PAC. DFAP. 作DGAB于G, 同理可证DGAP,又DG、DF都在平面ABC内, PA平面ABC. (2)连结BE交PC于H, E是PBC的垂心, PCBE. 又AE平面PBC, PCAB. 又PA平面ABC, PAAB, AB平面PAC, ABAC,即ABC是直角三角形.,题型四 垂直问题的探究 【例4】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,A
9、B=2,BC=a,又侧棱PA底面ABCD. (1)当a为何值时,BD平面PAC?试证明你的结论; (2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PMDM; (3)若在BC边上至少存在一点M,使PMDM,求a的取值范围.,分析:（1）本题第(1)问是寻求BD平面PAC的条件,即BD垂直平面PAC内两相交直线,易知BDPA,问题归结为a为何值时,BDAC,从而知ABCD为正方形. （2）若PMDM,易知DM面PAM，得DMAM,由AB=2，a=4知，M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DMAM. 解： (1)当a=2时,ABCD为正方形,则BDAC, 又PA底面ABCD,BD平面ABCD,
10、BDPA,又PAAC=A,BD平面PAC. 故当a=2时,BD平面PAC. (2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N, 连结AM、DM、MN. 四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形, AMD=AMN+DMN=45+45=90, 即DMAM.又PA底面ABCD, PADM,DM面PAM，得PMDM, 故当a=4时,BC边的中点M使PMDM. (3)设M是BC边上符合题设的点M, PA底面ABCD, DMAM. 因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,则AD2AB,即a4即为所求.,学后反思 无论是线面垂直还是面面垂直,都源自于线线垂直.在处理实际问题的过程中,可以先从题
11、设条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论入手分析所要证明的垂直关系,从而架起已知与未知之间的“桥梁”.,举一反三 4. 如图,在正三棱锥A-BCD中,BAC=30,AB=a,平行于AD、BC 的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点. (1)试判断四边形的形状,并说明判断理由; (2)设P点是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC平面EFGH? 请说明理由.,解析：(1)四边形EFGH是矩形,下面给出证明: AD面EFGH,面ACD面EFGH=HG,AD面ACD, ADHG.同理EFAD, HGEF,同理有EHFG, 四边形EFGH是平行四边形. 又三棱锥A-BCD是
12、正三棱锥, A点在底面BCD上的射影O点必是BCD的中心,ODBC,ADBC. HGEH,即四边形EFGH是矩形. (2)作CPAD于P,连结BP, ADBC,AD面BCP.,HGAD,HG面BCP. 又HG面EFGH, 面BCP面EFGH, 在RtAPC中,CAP=30,AC=a,8. P为ABC所在平面外一点,AC= a,连结PA、PB、PC,得PAB和PBC 都是边长为a的等边三角形,则平面ABC和平面PAC的位置关系为 .,解析：如图所示,由题意知PA=PB=PC=AB=BC=a, 取AC中点D,连结PD、BD, 则PDAC,BDAC,则BDP为二面角P-AC-B的平面角, 又AC=
13、,PD=BD= , 在PBD中, PDB=90. 答案：垂直,9. ABC-ABC是正三棱柱，底面边长为a,D、E分别为 BB、CC上的一点，BD= a,EC=a. (1)求证：平面ADE平面ACCA, (2)求ADE的面积.,证明：(1)分别取AC,AC的中点M、N，连结MN， 则MNAABB， B、M、N、B共面,BMAC. 又BMAA,BM平面AACC. 设MN交AE于P，CE=AC, PN=NA= a,又DB= a,PN=BD. PNBD,四边形PNBD是矩形，于是PDBN, 又BNBM,PDBM,BM平面ACCA, PD平面ACCA,PD平面ADE， 平面ADE平面ACCA. (2)
14、PD平面ACCA, PDAE，PD=BM= a,AE= a, SADE= AEPD= .,10. (2009潍坊模拟)如图,正三棱柱 中,AB=2, AA1=1,D是BC的中点,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1= . (1)求证:PA1BC; (2)求证:PB1平面AC1D; (3)求证:B1D平面ADC1.,证明：(1)取 的中点Q,连结A1Q,PQ, P 和 是等腰三角形, A1Q, PQ, 平面A1PQ, PA1. BC ,BCPA1. (2)连结BQ,在P 中, 在同一平面内. BB1PQ,四边形BB1PQ为平行四边形, PB1BQ.,四边形 为平行四边形。,(3)在矩形BCC
