《2012山东高三高考数学教程及世纪金榜答案34节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012山东高三高考数学教程及世纪金榜答案34节（105页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第四节 函数 的图象及 三角函数模型的简单应用,在上述两种图象变换过程中，平移距离 为什么不一样？ 提示:左右平移，其距离为x的变化量. 中,x的变化量为| |,平移距 离为| |, 中， x的变化量为 ,即平移距离为 .,1.将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移 个单位， 得到的图象对应的解析式是( ),【解析】选C.横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象的解析 式为 再将所得的图象向左平移 个单位得到 的解析式为,2.将函数y=sin x的图象向左平移 个单位后， 得到函数 的图象，则 等于（ ） (A) (B) (C) (D) 【解析】选B
2、.依题意得y=sin(x- )=sin(x- +2)= sin(x+ )，故将y=sin x图象向左平移 个单位后得 到y=sin(x+ )=sin(x- )的图象.,3.为了使函数y=sin x(0)在区间0,1上至少出现 10次最大值，则的最小值是（ ） (A) 19 (B) (C)20 (D) 【解析】选D.结合y=sinx的图象可知至少出现10次最大 值，则0，1至少包含 个周期，有 T1，即 得 ，故 .,4.图中的曲线是函数y=Asin(x+ )的图象(A0,0, | | )，则=_, =_.,【解析】设周期为T，则 T= - = , T=,=2. ， = . 答案：2,5.若函数
3、 的图象关于直线 对称，则函数在0，2上零点的个数为_.,【解析】由函数图象关于直线 对称知 由2sin(8x+ )+2=0得sin(8x+ )=-1, 8x+ =2k- (kZ), 则k=1,2,3,4,5,6,7,8， 故函数在0,2上零点的个数为8. 答案:8,1.三角函数y=Asin(x+ )(A0,0,| |)图象的特点 函数y=Asin(x+ )在R上的最大值为A，最小值为-A，也就 是图象的最高点与最低点的纵坐标.周期为 ，在一个 周期上必有一个最大值与一个最小值.,2.确定y=Asin(x+ )+k（A0,0,| |）中的参数的 方法 在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为
4、m，则 由周期T确定，即由 求出， 由特殊点确定.,3.平移变换中的平移量 从 y=sinx(0)到y=sin(x+ )(0) 的变换中 平移量为 ( 0时，向左； 0时，向右)而不是| |. 平移的距离是针对x的变化量而言的. 4.y=Asin(x+ )的对称中心及对称轴 y=Asin(x+ )的对称中心是图象与x轴的交点，对称轴是 过峰点（或谷点）,且与x轴垂直的直线.,五点法作图 【例1】作出函数y=3sin(2x+ )在一个周期内的图象并 说明它与y=sinx的图象之间的关系. 【审题指导】令2x+ 分别取0, , ,2，解出x的值与y的值，利用列表、描点、连线即可得到函数在一个周期内
5、的图象，再利用图象变换可得y=sinx与已知函数图象间的关系.,1,【自主解答】列表：,描点，连线，得函数图象如图所示：,【规律方法】1.五点法作图的关键是正确确定五个点，而后 列表、描点、连线即可. 2.五点法作出的y=Asin(x+ )(A0,0)的图象形状一定 是形如“ ”.,【变式训练】作出y=sin(x- )在一个周期内的图象. 【解析】列表：,描点、连线，画出的图象如图：,由图象求函数解析式 【例2】已知函数f(x)=Asin(x+ ),xR(其中A0, 0,0 )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间 的距离为 ，且图象上一个最低点为M( ,-2). (1)求f(x)的解析式；
6、(2)当x , 时，求f(x)的值域.,2,【审题指导】由与x轴的交点中相邻两交点的距离为 可得 ，从而得T=，即可得.由图象最低点得A及 的值， 从而得函数f(x)的解析式，进而得f(x)的值域.,【自主解答】(1)由最低点为M( ,-2),得A=2. 由x轴上相邻两个交点之间的距离为 ,得 , 即T=,= =2.由点M( ,-2)在图象上得 2sin(2 + )=-2,即sin( + )=-1, 故,(2) 当2x+ = ,即x= 时，f(x)取得最大值2; 当2x+ = ,即x= 时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的 值域为-1,2.,【规律方法】确定y=Asin(x+ )+b(A0
7、,0)的解析式 的步骤: (1)求A,b.先确定函数的最大值M和最小值m, 则A= ，b= . (2)求.确定函数的周期T，则= ,(3)求 ，常用方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A，,b已知） 或代入图象与直线y=b的交点求解（此时要注意交点在上升区 间上还是在下降区间上）. 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一零 点（ ,0）作为突破口.具体如下：,“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为x+ =0; “第二点”（即图象的“峰点”）为x+ = ; “第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为x+ =; “第四点”（即图象的“谷点”）为x+ = ； “第五点”为x+
8、=2.,【互动探究】若将本例中的“与x轴的交点中，相邻两个交 点之间的距离为 （0 ）”改为“两相邻对称轴之 间的距离为（0 ）”，其余不变，又将如何求解函 数解析式？,【解析】由最低点M（ ,-2），得A=2， 又两相邻对称轴之间的距离为,得 =，T=2. ，由M（ ,-2）在图象上,得 故函数的解析式为f(x)=2sin(x+ ).,【变式训练】（2011东北师大附中模拟）函数 已知其导函数f(x) 的部分图象如图所示，则f(x)的函数解析式为（ ） (A) (B) (C) (D),【解析】选D.由 及导函数图象可得，,函数y=Asin(x+ )的图象变换 【例3】(2010辽宁高考)设0
9、，函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则的最小值 是( ) (A) (B) (C) (D)3 【审题指导】本例可先做变换，进而将变换后的解析式与原函数解析式比较，因图象重合，多余部分必为2的整数倍，从而可解.也可思考若图象平移后与原图象重合，则平移的距离必为周期的整数倍，也可获解.,3,【自主解答】选C.方法一： 即 又y与y1的图象重合，则 (kZ), 又0,kZ, k=-1时，取最小值为 .故选C.,向右平移 个单位,方法二：要使图象向右平移 个单位后与原图象重合，则必有 (kZ)， 故 (kZ)，又0， 故k=1时，min= .,【规律方法】图象变换规律： （1）平移变换： 沿x
10、轴平移时，由y=f(x)变为y=f(x+ )时，“左加右 减”即 0，左移； 0，上移；k0，下移.,（2）伸缩变换： 沿x轴伸缩：由y=f(x)变为y=f(x)时，点的纵坐标不 变，横坐标变为原来的 倍. 沿y轴伸缩：由y=f(x)变为y=Af(x)时，点的横坐标不 变，纵坐标变为原来的|A|倍.,【变式训练】如何由y= sin(2x+ )的图象得到y=sinx的图 象？ 【解析】y= sin(2x+ )的图象 y=sin(2x+ )的图象 y=sin(x+ )的图象 y=sinx.的图像.,横坐标不变 纵坐标变为原来的3倍,纵坐标不变 横坐标变为原来的2倍,右移 个单位,三角函数模型的简单
11、应用 【例】估计某一天的白昼时间的小时数f(t)的表达式是 其中t表示某一天的序号， t=0表示1月1日，依次类推.常数与某地所处的纬度有 关.(取3.14) （1）在波士顿,=6，试画出当t0,365时函数f(t)的图象；,（2）在波士顿哪一天的白昼时间最长？哪一天的白昼时间 最短？ （3）估计在波士顿一年有多少天白昼时间超过10.5小时？ 【审题指导】由题目中的已知条件，利用五点法画出 的图象，再向上平移12个单位可得 f(t)的图象，再利用图象可得白昼时间最长与最短的时 间，然后利用不等式求解t的范围.,【规范解答】（1）先用五点法作出 的简图. 令 分别等于0, , ,2，得出下表：,
12、因为函数g(t)的周期为365,所以g(365)-2.9. 将函数g(t)在0,365上的图象向上平移12个单位长度，就得到函数f(t)的图象.,（2）白昼时间最长的一天，即f(t)取得最大值的一天， 此时t=170,对应的是6月20日（闰年除外）.类似地， t=353时,f(t)取得最小值，即12月20日白昼时间最短. （3）f(t)10.5,即 则 所以49t292,292-49=243, 故在波士顿一年约有243天的白昼时间超过10.5小时.,【规律方法】三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型求解数学问题，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系
13、，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是迅速建模.,【变式备选】青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场.这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽.海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越.,已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据：,经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b的图象. (1)根据以上数据，求函数y=Acost+b的最小正周期
14、T，振幅A及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上 20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？,【解析】(1)由表中数据，知最小正周期T=12， = = = , 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5; 由t=3,y=1.0，得b=1.0， A=0.5,b=1, y= cos t+1.,(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放， cos t+11, cos t0, 2k- t2k+ ,kZ, 即12k-3t12k+3,kZ, 0t24,故可令中的k分别为0,1,2, 得0t3,或9t15,或21t24. 在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.,关于三角函数y=Asin(x+ )解答题的答题技巧 【典例】(12分)(2010广东高考)已知函数 (A0,x(-,+),0 )在 时取得最大值4. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式； (3)若 求sin.,【审题指导】根据可求最小正周期，然后由解析式及在 时取得最大值4得A,最小正周期T及 的值，从而得 f(x)，再代入 得sin. 【规范解答】(1)由=3可得最小正周期 2分 (2)由最大值为4，得A=4，且 则 (kZ),得 5分 0
