六年级奥数习题 (2)

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1、奥数习题【一】鸡兔同笼：大约在 1500 年前，孙子算经中记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，数头有 35 个；数脚有 94 只。求笼中有鸡和兔各多少只？ 假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由 94 只变成 942=47 只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多 1。因此，脚的总只数 47 与总头数 35 的差，就是兔子的只数，即473512（只）。显然，鸡的只数是 351223（只）。 【“砍足法”令古今中外数学家赞叹不已，这种思

2、维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，最终把它归成某个已经解决的问题。】 用“假设法”：假设全部是鸡，头有 35 个，则脚有 352=70 只，相差 94-70=24 只，是兔多出的脚，每只兔多 2 只脚，兔有 242=12 只，鸡有 351223（只）。 用“方程”来解：解设兔头 X 只，则鸡有 35-X 只，列式为 4X+（35-X）2=94，X=12，鸡有 351223（只）。 【二】牛顿问题：英国科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，人们把它称为“牛顿问题”：“有一牧场，已知养牛

3、 27 头，6 天把草吃尽；养牛 23 头，9 天把草吃尽。如果养牛 21 头，几天能把牧场上的草吃尽？（并且牧场上的草是不断生长的）” 一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作 1。 （1）27 头牛 6 天所吃的牧草为：276162 （这 162 包括牧场原有的草和 6 天新长的草。） （2）23 头牛 9 天所吃的牧草为：239207 （这 207 包括牧场原有的草和 9 天新长的草。） （3）1 天新长的草为：（207162）（96）15 （4）牧场上原有的草为：27615672 （5）每天新长的草足够 15 头牛吃，21 头牛减去 15 头，剩下 6 头吃原牧场的草：72（2115）7

4、2612（天） 所以养 21 头牛，12 天才能把牧场上的草吃尽。 【练一练】有一牧场，如果养 25 只羊，8 天可以把草吃尽；养 21 只羊，12 天把草吃尽。如果养 15 只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽？ 【三】鬼谷算：我国汉代有位大将叫韩信，他每次集合部队，只要求部下先后按l3、15、17 报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。” 这首诗的意思是：用

5、3 除所得的余数乘上 70，加上用 5 除所得余数乘以 21，再加上用 7 除所得的余数乘上 15，结果大于 105 就减去 105 的倍数，这样就知道所求的数了。比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余 1，五个五个地数余 2，七个七个地数余 3，篮子里有鸡蛋一定是 52 个。算式是：170221315157，15710552（个） 【练一练】四皓小学订中国少年报若干张，如果三张三张地数，余数为 1 张；五张五张地数，余数为 2 张；七张七张地数，余数为 2 张。四皓小学订中国少年报多少张？ 【四】电灯泡问题：“过道里依次挂着标号是 1，2，3, 100 的电灯泡，开始它们都是灭的。当第一个人走过时，

6、他将标号为 1 的倍数的灯泡的开关拉一下；当第二个人走过时，他将标号为 2的倍数的灯泡的开关拉一下；当第三个人走过时，他将标号为 3 的倍数的电灯泡的开关拉一下；如此进行下去，当第一百个人走过时，他将标号为 100 的倍数的灯泡的开关拉一下。问：当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是多少？” 此题实质是找每个灯泡的因数个数。第一个灯泡只有因数 1，灯亮；第二个灯泡有两个因数 1、2，等灭；由此可以看出因数的个数是奇数时，灯亮；因数的个数是偶数时，灯灭。故当第一百个人走过后，过道里亮着的电灯泡标号是 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100. 【五】巧求六位数：“六位数432

7、1能被 4321 整除，这个六位数是多少？” 采用“假设计算排错验证”的方法。 假设六位数为 943219，那么 94321943212181241，由于余数大于 9，所以不合题意。 假设六位数为 843219，则有 843219432119564，余数大于 9，也不合题意。 假设六位数为 743219，则 74321943211727，余数小于 9，可见符合条件的六位数为7432197743212。 当六位数的首位数分别为 6、5、4、3、2、l 时，经计算均不合题意。综上分析，要求的六位数为 743212。 【练一练】：四位数89能被 89 整除，这个四位是多少？答案：（4895） 【六】

8、时钟问题：“钟面上有时针与分针，每针转动的速度是确定的。” 分针每分钟旋转的速度：360606，时针每分钟旋转的速度：360(1260)05，在钟面上要么是分针追赶时针，要么是分针超越时针。这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程。因此钟面上两针的运动相当于典型的追及问题。 例 1：钟面上 3 时多少分时，分针与时针恰好重合？ 整 3 时，分针在 12 的位置上，时针在 3 的位置上，两针相隔 90。当两针第一次重合，就是 3 时过多少分。在整 3 时到两针重合的这段时间内，分针要比时针多行走 360123=90，每分钟分针比时针多走 60555(度)，所用时间为 90551636(分)。

9、 例 2：在钟面上 5 时多少分时，分针与时针在一条直线上，而指向相反？ 在整 5 时，时针与分针相隔 360125=150，然后分针先是追上时针，分针需比时针多行走 150，然后超越时针 180，共 150 180=330，分针每分钟旋转的速度：360606，时针每分钟旋转的速度：360(1260)05，(150 180)(6 05) 60(分) 5 时 60 分即 6 时正。 例 3：钟面上 12 时 30 分时，时针在分针后面多少度？ 整 12 时，分针与时针重合，相当于在同一起跑线上。到 12 时 30 分钟，分针走 180到达6 时的位置上，而时针在 30 分钟内也在行走。实际上两针

10、相隔的度数是在 30 分钟内分针超越时针的度数：(605)30=553=165(度) 例 4：钟面上 6 时到 7 时之间两针相隔 90时，是几时几分？ 从 6 时整作为起点，此时两针成 180。当分针在时针后面 90时或分针超越时针 90时，就是所求的时刻。 (18090)(605) 90 55 16.36(分钟)(180 90)(6 05) 2705.5 4909(分钟） 此题还可采用分率方法来解决 【七】最优化问题：既要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题涉及统筹、线性规划排序不等式等内容。 例 1:货轮上卸下若干只箱子，总重量为 10 吨

11、，每只箱子的重量不超过 1 吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重 3 吨的汽车？ 【分析】因为每一只箱子的重量不超过 1 吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于 2 吨，否则可以再放一只箱子。所以，5 辆汽车本是足够的，但是 4 辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如，设有 13 只箱子，所以每辆汽车只能运走 3 只箱子，13 只箱子用 4 辆汽车一次运不走。因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要 5 辆汽车。 例 2: 用 10 尺长的竹竿来截取 3 尺、4 尺长的甲、乙两种短竹竿各 100 根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？ 【分析】 一个 10 尺长的竹

12、竿应有三种截法：（1）3 尺两根和 4 尺一根，最省； （2）3 尺三根，余一尺；（3）4 尺两根，余 2 尺。为了省材料，尽量使用方法（1），这样 50 根原材料，可截得100 根 3 尺的竹竿和 50 根 4 尺的竹竿，还差 50 根 4 尺的，最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需 25 根即可，这样，至少需用去原材料 75 根。 例 3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是 7 的倍数，这个三角形的周长最长是多少厘米？ 【分析】三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是 0，2，4，6，8，且它们的和也是偶数，又它们的个位数字

13、的和是 7 的倍数，只能是 14，三角形三条边最大可能是 86，88，90，周长最长为 86+88+90=264 厘米。 例 4: 把 25 拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。 【分析】先从较小数形开始实验，发现其规律： 把 6 拆成 3+3，其积为 33=9 最大； 把 7 拆成 3+2+2，其积为 322=12 最大； 把 8 拆成 3+3+2，其积为 332=18 最大； 把 9 拆成 3+3+3，其积为 333=27 最大； 这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现 3，而当某一自然数可表示为若干个 3 与 1 的和时，要取出一个 3 与 1 重合在一起再分拆成两个 2

14、 之和，因此 25 可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积 3722=8748 为最大。 例 5: A、B 两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走 20 千米，已知每人最多可携带一个人 24 天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢？ 【分析】设 A 走 X 天后返回，A 留下自己返回时所需的食物，剩下的转给 B，此时 B 共有（48-3X）天的食物，因为 B 最多携带 24 天的食物，所以 X=8，剩下的 24 天食物，B 只能再向前走 8 天，留下 16 天的食物供返

15、回时用，所以 B 可以向沙漠深处走 16 天，因为每天走 20 千米，所以其中一人最多可以深入沙漠 320 千米。 如果改变条件，则问题关键为 A 返回时留给 B24 天的食物，由于 24 天的食物可以使 B 单独深入沙漠 12 天的路程，而另外 24 天的食物要供 A、B 两人往返一段路，这段路为 244=6 天的路程，所以 B 可以深入沙漠 18 天的路程，也就是说，其中一个人最远可以深入沙漠 360 千米。 例 6、今有围棋子 1400 颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取 7P（P 为 1 或不超过 20 的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜者

16、，问甲、乙两人谁有必胜的策略？ 【想】因为 1400=7200，所以原题可以转化为：有围棋子 200 颗，甲、乙两人轮流每次取 P颗，谁最后取完谁获胜。乙有必胜的策略。由于 200=450，P 或者是 2 或者可以表示为 4k+1 或 4k+3的形式（k 为零或正整数）。乙采取的策略为：若甲取 2，4k+1，4k+3 颗，则乙取 2，3，1 颗，使得余下的棋子仍是 4 的倍数。如此最后出现剩下数为不超过 20 的 4 的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。 说明 （1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所面临的“情形”（2）我们可以这样来分析这个问题