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1、,第七节 一阶常系数线性差分方程,第十章 微分方程与差分方程,一阶常系数线性差分方程的一般形式为,(1),其中 a 0 为常数 , f ( x ) 为已知函数 .,当 f ( x ) 0 时 , 称方程,(2),为一阶常系数齐次线性差分方程 .,下面介绍它们的求解方法 .,一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解,对于一阶常系数齐次线性差分方程 (2) , 通常有如下 两种解法 ,1 . 迭代法,若 已知 , 由方程 (2) 依次可得出,于是 令 为任意常数 , 则齐次方程的,通解为,2 . 特征根法,由于方程 等同于 可 以看出 的形式一定为某个指数函数 .,于是 , 设 代入方程得,即,得 称
2、方程 (3) 为齐次方程(2)的特征方程 , 而 为特征方程的根 (简称特征根) . 于是 是齐次方 程的一个解 , 从而,( C 为任意常数 ),(4),是齐次方程的通解 .,(3),例 1 求 的通解 .,解 特征方程为,特征方程的根为 于是原方程的通解为,( C 为任意常数 ),例 2 求方程 满足初始条件 的解 .,解 原方程可以改写为,特征方程为,其根为 于是原方程的通解为,把初始条件 代入 , 定出 C = 2 , 因此所求特解为,二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解,由上节定理 3 可知 , 一阶常系数非齐次线性差分方程 (1) 的通解由该方程的一个特解 与相应的齐次方程的 通
3、解之和构成 .,由于相应的齐次方程的通解的求法已经解决 . 因此 , 我们只需要讨论非齐次方程特解 的求法 .,当右端 f ( x ) 是某些特殊形式的函数时 , 采用待定系 数法求其特解 较为方便 .,1. 型,表示 x 的 n 次多项式 , 此时方程 (1) 为,由 上式可改写成为,设 是它的解 , 代人上式得,由于 是多项式 , 因此 也应该是多项式 (因为 当 是 x 次多项式时 , 是 ( x 1) 次多项式) .,如果 1 不是齐次方程的特征方程的根 , 即1 a 0 , 那么 也是一个 n 次多项式 , 于是令,把它代人方程 , 比较两端同次幂的系数 , 便可得,如果 1 是齐次
4、方程的特征方程的根 , 即1 a = 0 , 这 时 满足 因此应取 为一个 n + 1 次多 项式 , 于是令,将它代人方程 , 比较同次幂的系数 , 即可确定各系数,综上所述 , 我们有如下结论 :,结论 若 则一阶常系数非齐次线性差 分方程 (1) 具有形如,的特解 , 其中 是与 同次的待定多项式 , 而 k,的取值如下确定 :,(1) 若 1 不是特征方程的根 , k = 0 ; (2) 若 1 是特征方程的根 , k = 1 .,例 3 求差分方程 的通解 .,解 (1) 先求对应的齐次方程,的通解,由于齐次方程的特征方程为 3 = 0 , = 3 是特征 方程的根 . 故 是齐次
5、方程的通解 .,(2) 再求非齐次方程的一个特解,由于 1 不是特征方程的根 , 于是令 代人原方,程为,即 a = 1 . 从而,(3) 原方程的通解为,( C 为任意常数 ),例4 求差分方程 的通解 .,解 (1)先求对应的齐次方程,的通解,由于特征方程为 2 = 0 , 得其根为 = 2 , 于是,(2) 再求非齐次方程的一个特解,由于 1 不是特征根 , 于是令,代人原方程 , 得,比较两边同次幂的系数 , 得,于是,(3) 原方程的通解为,例5 求差分方程 满足 的特解 .,解 (1) 对应的齐次方程,的通解为,(2) 再求原方程的一个特解为,由于 1 是特征方程 1 = 0 的根 , 于是令,代人原方程 , 比较两端同次幂的系数 , 得,于是,(3) 原方程的通解为,(4) 由 得 C = 1 , 故原方程满足初始条件的特解 为,2. 型,这里 为常数 , 0 且 1 , 表示 x 的 n 次 多项式 , 此时 , 只须作变换,将它代入原方程 得,消去 , 即得,对此方程 , 我们已经会求出它的一个解 , 于是,例6 求 的通解 .,由于特征方程为 + 1 = 0 , 其根为 = 1 , 于是有,解 (1)先求对应的齐次方程,的通解,( C 为任意常数 ),(2) 再求原方程的一个特解,令 原方程化为,不难求得它的一个特解为,于是,(3) 原方程的通解为,本节结束,
