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1、第二章 单度线性系统自由振动,2-1 无阻尼自由振动,1力学与数学模型,1 力学与数学模型,复摆,1 力学与数学模型,EI,从材料力学知，简支梁跨中受到力P作用时，跨中挠度为：,1 力学与数学模型,T,质量m：,滑轮：,广义数学模型为：,式中：广义质量 广义刚度 广义位移,2 微分方程的解以广义数学模型说明,或,称为固有频率或圆频率,积分常数C和由初始条件确定：,3 自由振动的特征量,（1） 固有频率n，周频率f，周期T,（2）振幅,（3）周期性: x(tT)x(t),（4） 初相位,其中 固有频率n的求解最重要,4 求固有频率n的几种常用方法,（1） 建立运动微分方程,（2）利用串并联关系求
2、合成刚度,（a）并联,（b）串联,（c）并联,并联：位移相等,串联：力相等,X1与X2为弹簧变形,4 求固有频率n的几种常用方法,（3）对于垂直振动系统，有,（4） 能量法,其中 （1）与（4）用得最多,（5） 能量折算法求弹簧等效质量,例 已知：m，R和k，纯滚动。 求：固有频率n,解：动能定理,两边求导：,例 已知：均质滑轮，M，m，r和k，绳索不可伸长，且与滑轮间无相对滑动。 求系统固有频率n,解：系统动能：,系统势能：,由,例 已知：无重直角曲杆，m，k1，k2，a，b。 求n,直角曲杆,解：物块m,例 已知：无重直角曲杆，m，k1，k2，a，b。 求n,直角曲杆,解：物块m,实际系统
3、，振动不会永远下去，振幅会逐渐衰减，直至振动停止，表明有阻力，设阻力与速度的一次方成正比，即,2-2 有阻尼自由振动,1 阻尼,C为阻尼系数，力学模型如图。,2 运动微分方程及其解,(1) 大阻尼及临界阻尼情况,2 几种情况,这时系统不发生振动，这里不作讨论。,2 几种情况,C、D或A、由初始条件确定。,(2) 小阻尼情况,即衰减振动周期Td大于无阻尼时的振动周期Tn。,表明有阻尼时频率下降。,一般，由于，故有,阻尼对系统的周期和固有频率影响不大，但对振幅的影响却很大。,如：0.02时,即频率下降了0.02，而振幅一个周期后下降了12，10个周期后则下降到原来的28.45。,当0.05时，频率仅下降0.125，而振幅在一个周期后下降了27，10个周期后则下降到原来的4.3，可见阻尼对振幅影响之大。,取对数得对数减缩率：,
