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1、线 性 代 数 复 习 课,一、内 容 提 要,二、典 型 例 题 ,一、内 容 提 要,行列式的性质,性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质4 对换两行, 行列式值反号.,性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和.,性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去, 行列式的值不变.,性质5 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零.,设 A, B 为 n 阶矩阵, 则有 | AB | = | A | | B | .,一、内 容 提 要,Laplace
2、 按行列展开定理,行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即,设 A = (aij)为 n 阶方阵, 则有,一、内 容 提 要,伴随阵,设 A 为 n 阶方阵, Aij 为(i, j)元的代数余子式, 记,称 A 为方阵 A 的转置伴随阵.,伴随阵的性质,设 A 为 n 阶方阵 A 的伴随阵, 则有,如果 | A | 0, 那么, 称方阵 A 为非奇异矩阵.,逆阵计算公式,非奇异矩阵 A 的逆阵为,逆矩阵,如果存在矩阵 B, 使 AB = BA = E 那么, 称方阵 A 为可逆的, 并称 B 为 A 的逆矩阵.,定理 设 A, B 为 n 阶方阵, 若 AB = E,
3、则 A, B 可逆, 且有,一、内 容 提 要,逆矩阵的性质,设 A, B 为 n 阶可逆矩阵, 则有,一、内 容 提 要,分块对角阵的性质,(3) A 可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆, 且有,一、内 容 提 要,设 Ai(i=1,s)都是方阵,设 A, B 都是方阵, 则有,矩阵 A 与 B 行等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 P, 使 B = PA.,矩阵 A 与 B 列等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 Q, 使 B = AQ.,具体地有,一、内 容 提 要,等价矩阵,如果矩阵 A 经过有限次初等(行, 列)变换, 化为矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B (行, 列)等价,
4、记为 AB.,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,一、内 容 提 要,矩阵的秩,一、内 容 提 要,如果矩阵 A 的等价标准形为,那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).,性质1 等价矩阵有相等的秩.,性质2,性质4,行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.,性质5,矩阵的秩,一、内 容 提 要,如果矩阵 A 的等价标准形为,那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).,性质7,性质8,性质9,性质6,逆矩阵的初等变换求法,矩阵初等变换的应用,线性方程组的最简形解法,将线性方程组的增广矩阵化为行最简形, 写出同解 方程组, 解便一目了然.,矩阵方程 AX =
5、 B, XA = B 的初等变换解法,一、内 容 提 要,(1) 当 R(A, b)R(A) 时,方程组无解;,(2) 当 R(A, b)=R(A) = n 时,方程组有唯一解;,(3) 当 R(A, b)=R(A) n 时,方程组有无穷多解.,设 n 元线性方程组 Ax = b.,n 元方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是 R(A) n.,AX = B 有解的充要条件是 R(A) = R(A, B).,线性方程组的可解性定理,当 A为方阵时, Ax = 0 有非零解的充要条件是 | A| = 0.,一、内 容 提 要,齐次通解结构定理,设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础
6、解系为 x1, xn-r , 其中 r = R( A), 则 Ax = 0 的通解为,(k1, kn-r 为任意数),非齐次通解结构定理,(k1, kn-r 为任意数),设 x = h 是 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解 (称特解), x1, xn-r 是导出组 Ax = 0 的一个基础解系, 则 Ax = b 的通解为,一、内 容 提 要,一、内 容 提 要,线性组合,如果存在一组数,使,称向量 b 可由向量组,并,线性表示.,设 矩阵,则线性方程组 Ax = b,有一组解,等价于,线性相关性,设有向量组,如果存在一组不全为 0 的数,使,那么, 称 线性相关.,否则, 称
7、线性无关.,基本性质,一、内 容 提 要,(1) 若向量 b 可由向量组 a1, am 线性表示, 则向量组 b, a1, am 线性相关.,(2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关.,(3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.,定理,线性相关性,设有向量组,如果存在一组不全为 0 的数,使,那么, 称 线性相关.,否则, 称 线性无关.,一、内 容 提 要,向量组 线性无关的充分必要条件是,a1, am 线性无关, 也即向量方程,只有零解.,向量组的秩,设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).,向量组
8、的最大无关组,设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 中一个线 性无关向量组, 那么称 a1,ar 为 A 的一个最大无关组.,最大无关组的性质,设 A 为一向量组, 则部分组 a1,ar 为 A 的一个最 大无关组的充分必要条件是,(2) A 中任一向量可由 a1,ar 线性表示.,(1) a1,ar 线性无关;,一、内 容 提 要,化矩阵 A 为行最简形 A0, 通过观察 A0, 便知 A 的 列向量组的秩和一个特定的最大无关组, 以及 A 的其 余列向量在该最大无关组下的线性表示.,一、内 容 提 要,秩与最大无关组的一个算法,例 设,的秩为3,一个最大无关组为,则,
9、且有,初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.,向量组的线性表示,若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向 量线性表示, 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示.,一、内 容 提 要,向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是,若向量组 B 可由向量组 A 线性表示, 则 R(B) R(A).,等价向量组,可以相互线性表示的两个向量组, 称等价向量组.,向量组 A 与向量组 B 等价的充分必要条件是,向量空间,设 Rn 的非空集 V 满足条件：,那么, 称 V 为一个向量空间.,当非空集 V 满足条件(1),(2)时, 称 V 对线性运算封闭.,(1) 若 aV, bV, 则
10、 a +bV;,(2) 若 aV, kR, 则 kaV,齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 是一个向量空间.,子空间,设有向量空间 V1 及 V2, 若 V1V2, 就称 V1 是 V2 的 子空间. 当 V1V2 时, 称 V1 是 V2 的真子空间.,一、内 容 提 要,向量空间的基和维数,称向量空间 V 的秩为 V 的维数, 记为 dim V.,称向量空间 V 的任一最大无关组为 V 的一个基.,基的性质,设 V 为一个向量空间, 则 V 中向量组 a1, ar 为V 的一个基的充分必要条件是,(2) V 中任一向量可由 a1, ar 线性表示.,(1) a1, ar 线性无关;,
11、n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系为解空间S 的 一个基, dim S = n-R(A).,一、内 容 提 要,生成空间,设有向量组 A: a1, am, 记,称 L(A) 为由向量组 A 生成的向量空间, 简称生成空间. 称 a1, am 为生成元.,向量组线性表示的等价说法,设有向量组 A: a1, as, B: b1, bt . 则有,(1) L(A) 为 L(B) 的子空间的充分必要条件是 A 组可由 B 组线性表示；,(2) L(A) = L(B) 的充分必要条件是 A 组与 B 组等价.,一、内 容 提 要,向量在基下的坐标,设 V 为一个 r 维向量空间, 则 V 中
12、任意 r 个线性无 关向量 a1, ar 为 V 的一个基, 且有,V 中任一向量 a 可唯一地表示为,称 (k1, kr ) 为 a 在基 a1, ar 下的坐标.,一、内 容 提 要,过度矩阵,一、内 容 提 要,设 a1, ar 及 b1, br 是向量空间 V 的两个基,称此关系式为基变换公式.,称矩阵 P 为从基 a1, ar 到基 b1, br 的过渡矩阵.,过渡矩阵是可逆矩阵.,则,存在 r 阶矩阵 P, 使,向量的内积,一、内 容 提 要,设有 n 维向量 a = (a1, , an), b = (b1, , bn),称 a, b 为向量 a 与 b 的内积.,记,向量的范数,
13、若 a, b = 0, 则称向量 a 与 b 正交.,向量的夹角,非零向量 a 与 b 的夹角为,规范正交基,一、内 容 提 要,r 维向量空间 V 中, 任一正交单位向量组 e1, er , 称为 V 的一个规范正交基.,正交矩阵,如果 PTP = E(P -1 = PT ), 则称方阵 P 为正交矩阵.,P 为 n 阶正交阵的充分必要条件是 P 的列(行)向量组 为 Rn 的一个规范正交基.,正交变换,若 P 为正交阵, 则称线性变换 y = Px 为正交变换.,正交变换保持向量的内积不变.,方阵的特征值,一、内 容 提 要,称 n 次多项式 |lE - A| 为 A 的特征多项式.,称
14、n 次方程 |lE - A|=0 的根为方阵 A 的特征值.,设 l1, ln 为 A 的所有特征值, 则有,特征值的性质,(2),(1),A 的迹, 记为tr(A).,设 f 是一个多项式, 若 l 为方阵 A 的一个特征值, 则 f (l) 为 f (A) 的一个特征值.,方阵的特征向量,一、内 容 提 要,设 l 为方阵 A 的特征值, 称方程组 (lE - A) x = 0 的任一非零解为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量.,对应于 n 阶矩阵 A 的特征值 l 有 n-R(lE-A) 个线性 无关的特征向量,定理 设 l1, lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值, A1,
15、Am 分别为属于 l1,lm 的线性无关特征向量组, 则由 A1, Am 的并集构成的向量组线性无关.,称属于 l 的线性无关特征向量组.,定理 设 l1, lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值, p1, , pm 为对应的特征向量, 则 p1, pm 线性无关.,相似矩阵,一、内 容 提 要,设 A, B 为 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P, 使,那么, 称 B 是 A 的相似矩阵.,称 P 为相似变换矩阵.,矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.,定理 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).,推论 若对角阵 L 是 A 的相似矩阵, 则 L 以 A 的特征值 为对角元素.,定理,一
16、、内 容 提 要,n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,定理,设 l 是 n 阶矩阵 A 的 k 重特征值, 则,定理,方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是 A的每一特征值的几何重数等于代数重数.,称 k 为特征值 l 的代数重数.,称 n - R(lE - A) 为特征值 l 的几何重数.,(1) 求出 n 阶方阵 A 的所有特征值 li .,一、内 容 提 要,(2) 求 (li E-A) x = 0 的一个基础解系.,(3) 将求出的 n 个特征向量排成矩阵,则,可对角化矩阵的多项式计算,当 P -1AP = L = diag(l1, ln) 时,方阵相似对角化的
