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1、几何学简介,胡努春 浙江师范大学数学系 http:/ 相应数学分支：算术（arithmetic）（数论），代数（algebra），几何（geometry），分析（analysis） 大一数学科目：数学分析（微积分），高等代数（线性代数），解析几何（坐标几何）,什么是数学,Mathematical physics Fluid dynamics Numerical analysis Optimization Probability theory Statistics Financial mathematics Game theory,Mathematical biology Mathematica
2、l chemistry Mathematical economics Control theory Mathematical logic Set theory Theory of computation Cryptography,什么是数学柯朗 数学：它的内容方法和意义,什么是几何学（陈省身台大演讲）,什么是几何学,数学译林1991 VOL3 NO3(大陆) 数学传播1987 VOL11 NO2(台湾) 数学文化（香港） The American Mathematical Monthly The Mathematical Intelligencer Notices of AMS,什么是几何学,
3、Geometry(几何学)=Geo(土地)+metry(测量) 经验几何: 求长度,面积,体积 (结论相对零散) 如利用相似性测量高度，利用三角学测量地球半径,陶哲轩：The cosmic distance ladder,2010 Einstein Lecture,博客：http:/ 主页：http:/www.math.ucla.edu/tao/,几何原本(公理演绎几何，包含数论),公元前300年左右，欧几里德（Euclid） 1000多版本，影响仅次于圣经,几何原本内容与意义,内容：从119个定义，5条公理，5公设条出发，得到465个定理.用公理化方法对数学知识作了系统化理论化总结 意义：展
4、示认识真理的方法，从少数几条明白清晰的前提出发，用逻辑工具证明结论（第一个用公理法建立起数学演绎体系）,几何原本五条公设,过相异两点能且只能作一直线 线段可任意延长 以任意一点为圆心,任意长为半径可作一圆 凡直角都相等 两直线被第三直线所截,若两内角和小于两直角,则两直线作延长时在此侧相交,第五公设与下列命题等价 在一平面内,过直线外一点可作且只能作一直线与此直线平行 三角形内角和为两直角 存在面积足够大的三角形 存在矩形 存在相似而不全等的三角形,几何原本著名结论,毕达哥拉斯定理（勾股定理） 三角形内角和为 (从平行公设推出) 素数无穷多（反证法） 不可公度量（无理数、非比数） 圆周率,费马
5、大定理： 当n 2时，方程 xn + yn = zn无平凡整数解， 1995年怀尔斯最终给出证明（辛格费马大定理）,中国数学与西方数学主要区别：中国重实用，西方种理性,透视图法（建筑、绘画）,张顺燕数学的美与理,画法几何,蒙日（Monge）于18世纪创立（用于工程制图）,中心投影，平行投影,张景中：数学家的眼光，数学与哲学,射影几何（仿射几何，欧氏几何）,平移，旋转 镜面反射（全等）,保持平行性和简比，但长度、角度改变,保持共线性和交比，但平行性改变,平行投影,中心投影,保持长度，角度位置， 只是位置发生变化,（中心在无穷远点）,射影几何,射影几何由帕斯卡（Pascal）、笛萨格（Desarg
6、ue）于17世纪创立 射影（仿射、欧氏）几何研究在中心投影（平行投影、运动）下保持不变的性质,圆锥曲线（添上无穷远点）,帕斯卡定理对椭圆，双曲线，抛物线都成立,1822年，庞斯列（Poncelet）发表第一部射影几何论著 （由于解析几何和与微积分的盛行，射影几何的探讨中断100多年）,坐标几何,由笛卡尔（Descartes）于1637年建立 （几何学作为方法论的附录发表,提出物理数学代数方程的科学方法）（费马（Fermat）也做了重要贡献）,坐标几何（解析几何）,通过引入坐标，使几何与代数得以相互转换,注：克莱因的古今数学思想第二卷第25页有对解析几何名称的解释,坐标几何意义（扩大研究范围）,
7、扩大了可研究的图形（不再限于直线、圆锥曲线） 图形不再局限于2维平面，可推广到高维空间（描述质点状态（位置和速度）需6维） 数学进入变量时代,微积分,微分 （求切线） 积分 （求面积）,微积分,由牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）于1670年左右创立,建立起微分与积分的联系,微积分基本定理（Newton-Leibniz公式）,利用解析几何和微积分，牛顿及其他天文学家对天体的运动进行了巨细无遗的计算。天体的运动是透过欧氏空间的整体坐标系统来描述的，在那里空间是静止的，而时间则独立于空间之外。,牛顿 (Newton) (1642 1727),微分几何（曲线、曲面）,欧拉（Euler）
8、：内在坐标 蒙日（Monge）：分析在几何学中的应用，1807年,微分几何（曲面的弯曲性）,曲面既可看成立体的边界(与外围空间联系)也可看成一个薄膜(本身就是一个空间),弯曲可以通过曲面上的点之间的距离来刻画（高斯绝妙定理）,黎曼几何（内蕴几何，弯曲空间）,高斯（Gauss）：关于曲面的一般研究，1827年 黎曼（Riemann）：关于几何基础中的假设，1854年 从弧长元素出发得到其他几何量和性质,黎曼几何(流形，局部与欧氏空间同胚),球面,Klein瓶,卡拉比 -丘流形,Mobius带,环面,圆柱面,基本多边形,环面,球面,实射影平面,也可以看出圆盘或球面对径点粘合,Klein瓶,Nash
9、嵌入定理,每个黎曼流形可以等距嵌入到欧几里得空间 Rn（全局）,电影美丽心灵,1994年诺贝尔经济学奖得主,黎曼几何(流形，局部与欧氏空间同胚),欧氏几何 裸体人 坐标几何 原始人 黎曼几何 现代人 (流形上有不同的坐标系,在局部可用坐标刻画，但这个坐标是可以任意变换的,通过控制坐标变换，得出与坐标系无关的几何性质,利用外微分形式、张量分析找出局部坐标变换下的不变量),黎曼几何(联络，规范场论),平行移动（不同切空间的联系）,黎曼几何（摆脱坐标必须有直接的度量意义）,爱因斯坦（Einstein）： （希尔伯特（Hilbert）同时也做了相应工作） 广义相对论1915年 (狭义相对论, 1905
10、年) 物理几何化，引力对应于曲率,整体微分几何,Gauss-Bonnet-Chen公式,在刚性的几何结构与柔性的拓扑结构之间建立起联系,拓扑学（橡皮几何学）,欧拉示性数=顶点数-边数+面块数,三角形外角和Gauss-Bonnet-chen公式Atiyah-Singer指标定理,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体,柏拉图多面体,这些多面体和复奇点的现代理论有关，也和弦理论中非紧致卡拉比丘成桐流形有关。,拓扑学（橡皮几何学）,庞加莱（Poincare）：位置分析1895年 研究拓扑不变量（如基本群）,欧 拉 数,环柄数分别为 1, 2, 3,庞加莱猜想(1904年),庞加莱猜想：
11、在一个封闭的三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点（即无洞），那么这个空间一定是一个三维的球面。 1961年，斯梅尔(Smale)证明五维和五维以上空间的庞加莱猜想的,并于1966年获菲尔茨奖（视频：球面翻转） 1983年，福里德曼（Freedman）证明了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖(米尔若（Milnor），唐纳森(Donaldson),瑟斯顿（Thruston）作了相关工作获菲尔兹奖) 2003年,佩雷尔曼(Perelman)证明三维庞加莱猜想(用了汉密尔顿(Hamilton)的Ricci流，丘成桐)（流形的命运）,小结,欧氏几何（公元前3世纪） 射影几何，画法几何（
12、17世纪） 坐标几何（17世纪） 微分几何（18世纪） 黎曼几何（19世纪） 拓扑学（20世纪初）, 非欧几何（19世纪） ,非欧几何,欧氏几何第五公设 （过直线外一点可作唯一一条平行线） 高斯（Gauss） 波尔约（Bolyai） 罗巴切夫斯基（Lobachevsky） 于1830年左右建立,非欧几何（双曲、椭圆非欧几何）,罗巴切夫斯基几何（过直线外一点可作无数条平行线） 黎曼非欧几何（球面几何）（过直线外一点不能作平行线,并且区分无限和无界）(注:李忠，走向数学丛书),球面,庞加莱圆盘,视频：mobius变换,非欧几何意义,深刻影响几何学观念，原先认为公理即真理，现在认为数学公理只是对数学
13、对象的性质约定。 区分物理空间和几何空间 （光线走直线，走最短距离）,视频：爱因斯坦广义相对论弯曲时空,宇宙？,广义相对论认为宇宙时空是一个具有特定黎曼度量的四维流形,小结,欧氏几何（公元前3世纪） 射影几何，画法几何（17世纪） 坐标几何（17世纪） 微分几何（18世纪） 黎曼几何（19世纪） 拓扑学（20世纪初）, 非欧几何（19世纪） ,曲率角度非欧几何,欧氏几何：曲率为零 双曲几何：曲率为负常数 椭圆几何：曲率为正常数 （上述几何为黎曼几何特例）,平面,伪球面,球面,公理角度非欧几何,希尔伯特（Hilbert）：几何基础1899年 （从公理角度对欧氏几何，非欧几何做了严谨阐述） 欧氏几
14、何（抛物几何）（过直线外一点可作切只可作一条平行线） 罗巴切夫斯基几何（双曲几何）（过直线外一点可作无数条平行线） 黎曼非欧几何（椭圆几何）（过直线外一点不能作平行线）,公理化思想,公理化思想影响整个数学的发展，如集合论，代数，概率论，物理的公理化（斯宾若莎伦理学） 布尔巴基(Bourbaki)数学观点:代数结构(运算),拓扑结构(远近),序结构(大小),测度结构(长度面积体积),变换群角度非欧几何,克莱因（Klein）：关于近代几何研究的比较（Erlangen纲领）1872年 用群的观点对欧氏几何，射影几何，非欧几何等作了大综合 几何就是研究几何对象在变换群作用下的不变性质（运动群，射影群,
15、连续变换群） 嘉当(E.Cartan)于1923年以联络为工具对Klein思想和Riemann思想加以融合,小结,欧氏几何（公元前3世纪） 射影几何，画法几何（17世纪） 坐标几何（17世纪） 微分几何（18世纪） 黎曼几何（19世纪） 拓扑学（20世纪初）, 非欧几何（19世纪） ,欧氏几何，射影几何，非欧几何既可从公理化角度研究（综合法），也可从坐标角度研究（解析法），还可从变换群角度理解。,其他几何,分形几何（图像压缩） （Mandelbrot，1962年） 辛几何 几何分析（丘成桐） 计算几何（计算机辅助设计） 随机微分几何 无限维几何（泛函分析，量子力学） 扭结理论,扭结理论,DNA结构,小结（人类文明若从人类出现开始 ，有300万年，若从语言文字开始，有5000年）,参考书,尤承业解析几何 （解析几何，射影几何） 居余马代数与几何 （线性代数、解析几何、微分几何、射影几何、非欧几何） 李养成空间解析几何 （解析几何）,解析几何课各高校开课情况,单独开课 与高等代数一起开课,网络资源,百度，百度百科，Wikipedia
