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1、分析力学基础,引言 研究机械系统或结构动力学问题时，当简化的力学模型被确定之后，正确地建立系统的动力学方程就成为首要任务。 将实际系统简化成单自由度或两自由度系统之后，主要应用牛顿运动定律及其推论来建立振动微分方程。 这种我们所熟知的动力学中所提供的方法，仍将是今后建立多自由度系统的弹性体振动的基本方法。 但这一方法是按照各质点或刚体的运动来建立方程的，为此常常要引入那些未知的约束反力。 对于某些复杂的系统，采用这样的方法来建立力或力矩同速度、加速度等运动量之间的矢量关系不仅显得复杂，而且引入了那些我们不必知道的未知约束反力。,分析力学基础,引言 分析力学的方法：从能量观点上统一建立起来的系统
2、的动能T、势能U和功W之间的标量关系。 它是研究静动力学问题的一个普遍的、简单而又统一的方法。尽管在建立有关概念和推证方面要花费一点力气，但在应用上会带来不少方便。 引用广义座标的概念，把它们作为描述系统运动状态的独立参数，从而正确地建立起系统自由度的概念。 把系统的动能T、势能U和功W等标量形式的物理量表达为广义坐标及其导数的函数。 先在静力平衡的基础上建立虚位移原理，并应用达伦贝尔（DAlembert）原理将它推广到动力学问题，从而建立了动力学普遍方程式。由此出发推证了有广泛应用的拉格朗日（Lagrange）方程,为建立多自由度系统振动微分方程提供了一种较为简便的统一方法。,分析力学基础,
3、自由度和广义座标 若系统用某一组独立的座标（参数）就能完全确定系统的运动，则这组座标为广义坐标。 完全确定系统运动所需的独立座标数目称为自由度。通常广义座标的数目和自由度相等。 例 约束 对系统的运动在几何位置上的限制称为约束，这种限制可以通过方程式表示，这类方程式称为约束方程式。 约束使系统的自由度减少。如由N个质点组成的质点系，有S个约束方程式，则它的自由度为3N-S（三维空间）。,分析力学基础,自由度和广义座标,要确定自由刚体的空间运动需要用六个独立的参数，自由刚体在空间的一般运动具有六个自由度。,约束的分类,非完整约束：约束方程含有不能积分的速度项的约束,完整约束：约束方程只包含座标本
4、身和常数项或显含 时间t的约束,非定常约束：约束方程中显含时间t的约束,定常约束：约束方程式中只包含座标及常数项,有时系统受到的约束，不仅与座标有关，同时还包含有速度，即在运动学上受到限制。,具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义座标数，而是小于广义座标数。,分析力学基础,虚位移原理 虚位移原理是把静力平衡条件通过功的原理来表达,杠杆绕光滑支点转动的平衡条件,这一关系可以通过功的形式来表示,假如当杠杆绕支点转动一微小角度时，A、B两点的微小位移分别为,P、Q在各自位移上所作元功之和记作W,杠杆平衡时，必然满足条件,即元功之和等于零,分析力学基础,虚位移原理,可见，力的平衡条件,等价于元功
5、之和等于零的条件,虚位移原理涉及两方面的基本概念,虚位移是指约束所许可的座标的微小改变量。 它只是指约束所许可而并不一定是实际运动的真实位移，因此它和时间t的变化无关，为了强调虚位移是假想的座标的瞬时改变量，它只要求符合约束，用符号表示，以区别于用增量d表示的dt时间间隔内真正发生的真实位移。 通常假设虚位移是无限小的 力在虚位移上的元功称为虚功，虚位移原理有时也称虚功原理。,分析力学基础,虚位移原理,虚位移是指约束所许可的座标的微小改变量。 约束反力约束作用于系统的力称为约束反力,虚位移原理：在理想约束下，质点系平衡的必要而充分的条件是所有主动力在虚位移上元功之和等于零。,必要条件 充分条件
6、,以广义座标和广义力表达的虚功方程,理想约束情况下，n个自由度系统平衡的必要和充分条件是n个广义力Qi等于零。,例,对应于广义座标qi的广义力,虚功的表达式,分析力学基础,动能和势能,分析力学是从能量观点上建立起来的，它利用广义座标来描述系统的运动。系统的动能T、势能U、和功W之间存在的本质上的关系是讨论的重点。,首先建立动能和势能的概念以及它们和广义座标及其导数之间的关系。,对于n个自由度系统可以用n个广义坐标和时间t来描述它的运动,即系统中任意一点k的位置座标矢量可以表示为,分析力学基础,动能和势能,系统中任一点k的位置座标矢量,上式对时间t求一阶导数，可得该点的速度,其中广义座标对时间的
7、导数 称为广义速度,速度 是广义速度 的线性函数,质点k的质量为mk，它的动能,系统的总动能为各质点动能的和,动能T将是广义速度的零次、一次和二次函数,分析力学基础,动能和势能,讨论约束和时间t无关的定常约束情况，各点的坐标只是广义坐标的函数而不显含t,将上式代入动能表达式,分析力学基础,动能和势能,改变求和的次序，上式成为,上式中，圆括号内是与质量有关的系数，称为广义质量系数，一般情况下是广义座标qi的函数。,引入符号,显然,分析力学基础,系统的动能,由于系数mij仅是广义座标的函数，由上式可见，在定常约束的情况下，动能T是广义速度的二次齐次函数。,在微振动理论中，若广义座标一律按平衡位置取
8、作原点，则振动过程中qi是偏离平衡位置的小量，将系数mij在平衡位置附近按台劳级数展开得,这样系数mij本来是座标的函数，现在可以在平衡位置qi=0取值而成为常数,由于广义速度也是小量，在动能表达式中只需保留二阶小量各项，因此在展开上式中只需第一项(mij )0,分析力学基础,系统的动能,引入广义质量矩阵,M简称质量矩阵，因为mij = mji ，所以它是一个对称矩阵,引入广义速度的列阵,动能T可表达为,分析力学基础,系统的动能,在定常约束情况下，动能T是广义速度的二次齐次函数（或称二次型） 系统的动能T除了广义速度全等于零外，它总是大于零，因此动能T具有恒正的性质。 在线性代数里称T这样的函
9、数为正定二次型，相应地称它的系数矩阵M是正定的。 对于正定的矩阵，它的全部主子行列式的值都大于零。,分析力学基础,系统的势能,若系统在空间受到力的作用仅由系统所在的位置唯一地决定，这种力称为势力，这种力场称为势力场。 在选定的参考（基准）位置经任意路径到达另一位置时，势力所作功的负值即为该位置所具有的势能。势能是位置的单值函数，故可以用n个独立的广义座标表示为,势能是座标的单值函数，它由系统的相对位置唯一地决定，因此在闭合路径上势力所作功等于零。 系统在势力场内运动经过一个闭合回路，能量既不增加也不消耗，因此能量具有守恒的性质，通常称这样的系统为保守系统。,分析力学基础,系统的势能,当qi有微
10、小改变时，元功可表达为函数U的全微分,如果上式中dqi代表系统的虚位移，则该式也就代表势力的虚功,虚功的广义坐标表达式,可得关系,对应于势力的广义力等于势能对广义座标的偏导数的负值,用广义力表示的平衡条件为,如果系统在势力场中仅有势力作为主动力，系统的平衡条件为,系统在平衡位置时，势能U取极值,分析力学基础,系统的势能,系统势能U是广义座标qi的函数,通常在微振动理论中，取平衡位置为qi的原点(qi =0)，故qi是小量,为了计算上的方便，可将势能在平衡位置附近按台劳级数展开,在展开式中，第一项表示势能在平衡位置取值，它是一个任意常数，可取作零。 第二部分是qi的一阶项，由于偏导数表示广义力在
11、平衡位置取值，因此它恒等于零。 因此上面展开式中只有qi的二阶和二阶以上的高阶项。,分析力学基础,系统的势能,在研究平衡位置附近的微振动理论中，只保留能量中的二阶项，高于二阶的项可全部略去，上式就成为,其中,称为刚度系数,刚度系数是势能U对广义座标的二阶偏导数在平衡位置取值，因此它们都是常数，并且和质量系数mji一样具有对称性，即,可见，在线性系统中势能U是广义座标的二次齐次函数。,分析力学基础,系统的势能,线性系统的势能U可表达为矩阵形式,其中q和qT表示广义座标的列阵及其转置矩阵 K为广义刚度矩阵,系统由于弹性变形而储藏的弹性势能U总是大于零的，因此U具有恒正的性质。 U是正定二次型，它的
12、系数矩阵K也是正定的。,但是当系统中包含有刚体位移时，势能U在除了qi全等于零的情况之外，它还可能等于零，即存在某些不等于零的qi而使U等于零。这种情况在线性代数里称为半正定二次型，因此刚度矩阵K可以是半正定的。对于半正定矩阵，它的全部主子行列式的值除了大于零的外，有的等于零。,分析力学基础,例1重力场的势能 例2 弹簧力场的势能,练习：试求图示质量为m1和m2组成的双摆的势能和动能，并求在微振动时的刚度矩阵和质量矩阵。,解,分析力学基础,拉格朗日方程,虚位移原理是在静力平衡的基础上建立起来的。,达伦培尔原理:作用在质点上的合力与惯性力构成平衡力系,对于质点k的动力学方程可以用平衡方程式表达,
13、其中 为主动力 和约束反力 之和,应用达伦培尔原理可以把虚位移原理推广到动力学问题,动力学普遍方程,作用在理想约束的系统上所有主动力和惯性力在任意瞬时在虚位移上的虚功之和等于零。,动力学普遍方程是推证拉格朗日方程和哈密尔顿原理的基础。,分析力学基础,拉格朗日方程,根据动力学普遍方程,其中第一部分是主动力的虚功,将证明第二部分惯性力的虚功与动能T有关，且,分析力学基础,拉格朗日方程,动力学普遍方程,所有惯性力的虚功,主动力的虚功,可得,虚位移都是独立的，可任意选取，于是可得n个二阶微分方程组,称为拉格朗日方程,分析力学基础,拉格朗日方程,其中,为系统的动能,分析力学基础,保守系统的拉格朗日方程,
14、其中T为系统的动能函数；U为系统的势能函数。,其中,为保守系统的动势,或,分析力学基础,当系统除了有势力的作用外，还存在有其他非势力的作用,把非势力的虚功记作,其中Qi为对应于势力以外的其他非势力的广义力,可将拉格朗日方程推广到非保守系统,或,分析力学基础,利用拉格朗日方程建立系统运动微分方程，其主要优点是可以避免未知约束反力的出现，其求解步骤可归纳如下： 首先判断系统的自由度数，并适当选取广义座标来表示系统的运动状态。 建立系统的动能T，最后应得到用广义座标和广义速度表达的动能表达式。 当主动力是势力时，建立用广义座标表示的势能U的表达式。对于非势力则计算对应于各广义座标qi的广义力Qi，具
15、体地可以令qi0，其它的qj(ji)全部取作零，计算非势力的虚功，则qi的系数即是Qi 。不计算势力的势能而直接计算广义力也可以。 最后将求得的T、U和代入拉格朗日方程中进行运算即可得到系统的运动微分方程。,保守系统的拉格朗日方程,当系统为保守系统时，即主动力为势力时，广义力为,代入,得保守系统的拉格朗日方程为,引入动势 L=T-U,代表动能和势能之差,因为U与广义速度无关,保守系统的拉格朗日方程可简写为,惯性力的虚功,系统中任一点k的位置座标矢量,证明过程中需要用到以下两个重要关系：,（1）,等式左右都是广义速度的函数,和,仅是广义座标qi及时间t的函数,因此将等式(A)左右对广义速度 求偏
16、导数，可得,(A),惯性力的虚功,（1）,（2）,计算,中惯性力的虚功,利用虚位移表达式,将上式右端中取一项改写为,利用,上式第一项中,可用,代换,第二项中微分的次序可以对换,惯性力的虚功,可将,改写成,上式表示对k点的动能,作算子,的微分运算,惯性力的虚功,动力学普遍方程,惯性力的虚功,上式对全部质点求和，得,其中,为系统的动能,惯性力的虚功,动力学普遍方程,惯性力的虚功,对n个广义坐标求和,对所有k个质点求和,动力学普遍方程,达伦培尔原理,将上式左端看成新的合力，计算全部质点的虚功得,在理想约束下，约束反力虚功之和等于零,因此得虚功方程,上式称为动力学普遍方程,作用在理想约束的系统上所有主动力和惯性力在任意瞬时在虚位移上的虚功之和等于零。,主动力约束反力,为了便于虚功的计算，把作用于系统的力分为两大类： 把约束作用于系统的力称为约束反力。例如限制系统运动的约束面的反作用力，刚体内部保持不变形的相互作用力和铰接的约束力都属于约束反力。 除此之外的另一类力称为主动力。它在系统运动或平衡中处于主导地
