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1、电动力学,Electrodynamics,主讲： 姜 孟 瑞,引 言 Introduction 电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规律以及它和带电物质之间的相互作用。 电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwells equations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。,学习电动力学课程的主要目标： 1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解； 2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础； 3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场
2、的物质性。,以电动力学为基础的应用领域： 在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。 例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、X射线和射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。,学习参考书： 1、电动力学 郭硕鸿 编著 2、电动力学 汪德新 编著 科学出版社 3、电动力学 吴寿煌 丁士章 编 西安交通大学出版社 4、经典电动力学 蔡圣善 朱 耘 编著 复旦大学出版社,预备知识 P
3、reliminary nowledge,主要内容：,一、矢量代数,二、矢量分析基础,（梯度、散度、旋度）,三、几个重要定理及公式,一、矢量代数,1. 矢量的加、减:,矢量的加、减，满足平行四边形法则。,以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。,如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和(差)的分量等于这两个矢量对应分量的和(差)。,设,，,，,则,本书中直角坐标的三个单位矢量分别用x , y , z 表示，通用方法是 再加上表示坐标轴名称的角标。,2. 矢量的乘法:,（1）两个矢量的点乘,两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。,设,，,，,则
4、,如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。,一、矢量代数,（2）两个矢量的叉乘,两个矢量的叉乘，乘积是一个矢量，称为矢积或外积。其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。,一、矢量代数,则,由以上计算公式可以得到：,一、矢量代数,3. 三个矢量的乘积:,（1）三个矢量的混合积,三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。,，,则,三矢量的混合积一定是先叉乘，后点乘。否则无意义。,注意:,一、矢量代数,利用行列式的性质，可以证明以下结论：,（混合积）,（2）三个矢量的叉乘,，必定处于a和,垂
5、直于矢量,b 所决定的平面内，可以用a和b的线性组合来表示。,一、矢量代数,一、矢量代数,计算公式为：,（三个矢量的叉乘）,注意：,即：,三个矢量的叉乘，可以表示为括号内两矢量的线性组合，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。,“远交近攻”,形象地记做：,在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在任何时刻，该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。,二、矢量分析基础,场的概念：,（梯度、散度和旋度的概念）,撇开物理含义，若一个量是空间坐标和时间的函数，
6、则这个量叫做场。,如果某个物理量是标量，空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。 如果某物理量是矢量，空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。 若场中各点处的物理量与时间无关，就称为恒定场。 若物理量与坐标无关，就称为均匀场。,二、矢量分析基础,（1）方向导数,方向导数是标量函数,变化率，它的数值与所取,在一点处沿某方向,的方向有关。在不同的方向上,的值是不同的。,1. 标量场的梯度:,(Gradient of Scalar Field),的空间,由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的,（2）梯度,方向导数有无
7、穷多个。,二、矢量分析基础,设等势面的法线方向为,，由几何关系可知，电势沿等势,面的法线方向的方向导数最大，等于,。由此引入梯度,的概念。记作：,注意：,梯度是一个矢量，其大小为最大的空间变化率，方向指向标量增,加最快的方向。所以说，标量场的梯度是一个矢量场。,二、矢量分析基础,增加的方向。,它指向,（3）任意方向的方向导数与梯度的关系：,是等值面,上,p点法线方向单位矢量。,表示过p2 点的任一方向。,显见，当,时，,所以,二、矢量分析基础,该式表明：,由此不难得到：,这是标量场微分的计算公式。,即：,方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投影。,（4）在直角坐标系中梯度的计算公式：,二、矢量
8、分析基础,2. 矢量场的散度:,（Divergence of Vector Field）,设闭合面S所包围的体积为,表示平均单位体积内所发出的场线的条数。,只包围一点时，上式的极限称为矢量场 f 在该点的散度。,，则,而,可见，散度就是空间某点处单位体积所发出的场线的条数。,（1）概念：,当,二、矢量分析基础,（2）在直角坐标系中散度的计算公式：,（3）积分变换式高斯定理,（Gausss Theorem）,它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。,二、矢量分析基础,3. 矢量场的旋度:,设闭合曲线L所围面积为,，则矢量场 f 沿有向闭合曲线,（1）概念：,（Rota
9、tion of Vector Field）,L的环流为,，设想将闭合曲线缩小到空间某一点,附近，那么以闭合曲线L为界的面积,逐渐缩小，,也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作,二、矢量分析基础,即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 ，,为矢量场 f 的旋度。且规定,矢量场的旋度是矢量，其方向与dl 的环绕方向构成右手螺旋关系。,的方向与dl 的环绕方,向构成右手螺旋关系。,为此定义,所以：,二、矢量分析基础,（2）在直角坐标系中旋度的计算公式：,（3）积分变换式斯托克斯定理,（Stokes Theorem）,它能把对任意闭合曲
10、线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。,二、矢量分析基础,4. 算符:,在直角坐标系中，,算符是一个矢性微分算符，在不同坐标系中形式不同。,所以，有,同样，,二、矢量分析基础,1. 定理:,三、定理及公式,（1）标量场的梯度必为无旋场,（2）矢量场的旋度必为无散场,（梯度的旋度恒等于0）,（旋度的散度恒等于0）,，则必存在一个矢量场 A ，,（4）无散场可由一个矢量场的旋度来表示。即：,成立。,（3）无旋场可由一个标量场的梯度来表示。即：,，则必存在一个标量场,使,成立。,如果,如果,使,三、定理及公式,2. 公式: （ 附录P.343）,（1）先根据算符的微分特性，
11、依次将它作用到每一个场量上，并标上角标。即：将表达式写成几项微分之和。,三、定理及公式,（2）将各项中的算符作用到所选定的场量上，将其余场量移到算符的作用范围之外，同时根据算符的矢量特性，检查每一项的矢量性。,（3）将算符的角标去掉。,三、定理及公式,再如：,三、定理及公式,三、定理及公式,注意：结果应是矢量，且每一项的方向均与 f 和 g有关。,若简单地将算符作用于 f 或 g上，得到的表达式,只与 f 或 g有关，是错误的。,利用公式：,得：,三、定理及公式,三、定理及公式,（1） 算符在方向关系上是一个矢量，在运算,（2）电动力学中会遇到的运算，要注意区别。,过程中是一个微分算符。所以与普通矢量,注意：,不同，其位置不能随便写。,梯度、散度、旋度等于0各有含义是什么？,思考：,三、定理及公式,
