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1、一、填空题（共21分 每小题3分）1曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为2直线与直线的夹角为3设函数，则4设级数收敛，则5设周期函数在一个周期内的表达式为 则它的傅里叶级数在处收敛于 6全微分方程的通解为7写出微分方程的特解的形式二、解答题（共18分 每小题6分）1求过点且垂直于直线的平面方程解：设所求平面的法向量为，则 (4分)所求平面方程为 (6分)2将积分化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面及所围成的区域 解： (3分) (6分)3计算二重积分，其中闭区域解 三、解答题（共35分 每题7分）1设，而，求解： (3分) (6分) (7分)2函数由方程所确定，求解：令， (2分)则 (5分
2、) ， (7分)3计算曲线积分，其中是在圆周上由到点的有向弧段解：添加有向辅助线段，有向辅助线段与有向弧段围成的闭区域记为，根据格林公式 (5分) (7分)4设曲线积分与路径无关，其中是连续可微函数且满足，求解： 由得 ，即 (3分) 所以 ， (6分) 代入初始条件，解得，所以 (7分)5判断级数的敛散性解： 因为 (3分) (6分)故该级数收敛 (7分)四、（7分）计算曲面积分，其中是上半球面的上侧解：添加辅助曲面，取下侧，则在由和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得 (4分) (6分) (7分) 五、（6分）在半径为的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形解：设三角形各边所对圆心角分别为
3、，则， 且面积为， 令 (3分)由 (4分)得此时，其边长为 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大 (6分)六、（8分）求级数的收敛域，并求其和函数解： ，故收敛半径为 (2分)当时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当时， 级数为调和级数，发散故原级数的收敛域为 (5分)设和为，即，求导得， (6分)再积分得 ， (8分)七、（5分）设函数在正实轴上连续，且等式对任何成立如果，求解：等式两边对求偏导得 (2分)上式对任何仍成立令，且因，故有 (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导两边求导，得即故通解为当时，故因此所求的函数为 (5分)八 （5分）已知，是某
4、二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程解1：由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个线性无关的解，是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为将代入上式，得，因此所求的微分方程为解2：由线性微分方程解的结构定理知与是对应齐次方程的两个线性无关的解，是非齐次方程的一个特解，故是所求微分方程的通解，从而有，消去，得所求的微分方程为06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1坐标面上的双曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为2设函数，则3直线与直线的夹角为 4. 设是曲面及所围成的区域积分，则化为柱面坐标系下的三次积分形式是 5. 设是圆周，取正向，则曲线积分6. 幂级数的收敛半径 7设
5、级数收敛，则 8设周期函数在一个周期内的表达式为 则它的傅里叶级数在处收敛于9全微分方程的通解为10写出微分方程的特解的形式二、解答题（共42分 每小题分）1求过点且垂直于直线的平面方程解：设所求平面的法向量为，则 (4分)所求平面方程为 (2分)2函数由方程所确定，求解：令， (2分)则 (2分) (2分)3计算，其中是由直线及所围成的闭区域解法一： 原式 (2分) . (4分)解法二： 原式.(同上类似分)4计算，其中是由即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域解： 选极坐标系原式 (3分) (3分)5计算，其中是曲线上由到的一段弧解：原式 (3分) (3分)6判断级数的敛散性解： 因为 (3
6、分)， (2分) 故该级数收敛 (1分)7求微分方程满足初始条件的特解解：特征方程 ，特征根 通解为 ， (3分)，代入初始条件得 ，所以特解 (3分)三、（8分）计算曲面积分，其中是上半球面的上侧解：添加辅助曲面，取下侧，则在由和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得 (4分) (2分) (2分) 四、（8分）设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导，且满足，求解：由，得， 即， (3分) 所以， (3分)代入初始条件，解得，所以 (2分)五、（6分）求函数的极值解：得驻点 (3分)在点处，故非极值；在点处，故是极小值 (3分)六、（6分）试证：曲面上任一点处的切平面都过原点证：因 (3分)则
7、取任意点，有，得切平面方程为即 故切平面过原点 (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）1设向量，已知与垂直，则2设，则3坐标面上的曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 4过点且与直线垂直的平面方程5二元函数的定义域为6函数，则7设，则8设，具有连续偏导数，则9曲线上点处的切向量10交换积分顺序：11闭区域由曲面及平面所围成，将三重积分化为柱面坐标系下的三次积分为12设为下半圆周，则13设为取正向圆周，则14设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅里叶级数在处收敛于15若，则级数的敛散性是 发散 16级数的敛散性是 收敛 17设一般项级数，已知收敛，则的敛散性是 绝对收敛 18微分方
8、程是 2 阶微分方程19微分方程的通解20微分方程的特解形式为二、（共5分）设，求解： 三、（共5分）设，求解：令 四、（共5分）计算，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域解： 五、（共6分）计算，其中为由点到点的上半圆周解：添加有向辅助线段,则有向辅助线段和有向弧段围成闭区域记为，根据格林公式六、（共6分）求幂级数的收敛域解：对绝对值级数，用比值判敛法当时，即，原级数绝对收敛当时，即，原级数发散当时，根据莱布尼兹判别法，级数收敛当时，级数发散，故收敛域为七、（共5分）计算，其中为球面在第一卦限的外侧解：在面的投影：八、（共7分）设，求使为某二元函数的全微分，并求解：由，得，即所以 带入初始条
9、件，解得,所以 07高数B得分一、（共60分 每题3分）1. 设向量，已知与平行,则2. 坐标面上的曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为3. 设,则4. 设一平面经过点，且与直线垂直，则此平面方程为5. 二元函数的定义域为6. 设，则7. 函数，则8. 设，具有连续导数，则9. 曲面在点处的法向量10. 交换积分顺序： 11. 闭区域由曲面及平面所围成，将三重积化为柱面坐标系下的三次积分为12. 设是闭区域的整个边界曲面的外侧,是的体积，则 =13. 设为上半圆周，则14. 设周期函数在一个周期内的表达式为 则它的傅里叶级数在处收敛于15. 若，则级数的敛散性是 发散16. 级数的敛散性是 收敛 17. 级数的敛散性是 收敛 18. 微分方程是 2 阶微分方程19. 微分方程的通解为20. 微分方程的特解的形式得分三、（共5分）函数由方程所确定，求解：令， (1分)则 (2分)
