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1、第十章 弯曲内力 Chapter 10 Internal forces in beams,目录,第十章 弯曲内力,10-1 引言 10-2 梁的计算简图 10-3 剪力和弯矩 10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分 关系,目录,10-1 引言,起重机大梁,目录,车削工件,目录,10-1 引言,火车轮轴,目录,10-1 引言,目录,10-1 引言,7,目录,基本概念(Basic concepts),2.梁 (Beam) : 以弯曲变形为主的杆件,（1） 受力特征:外力(包括力偶)的作用线垂直于杆轴线.,（2） 变形特征: 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线
2、.,1.弯曲变形(Deformation of bending),3.平面弯曲(Plane bending) : 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.,10-1 引言,平面弯曲,具有纵向对称面,目录,对称弯曲,外力都作用在此平面内,弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,10-1 引言,常见弯曲构件截面,目录,10-1 引言,10-2 梁的计算简图,目录,（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,（2）载荷类型,集中力(concentrated force),集中力偶(concentrated moment),分布载荷(
3、distributed load),11,目录,（3） 支座的类型,可动铰支座(roller support),固定铰支座 (pin support),固定端 (clamped support or fixed end),10-2 梁的计算简图,火车轮轴简化,目录,10-2 梁的计算简图,目录,10-2 梁的计算简图,吊车大梁简化,均匀分布载荷 简称均布载荷,目录,10-2 梁的计算简图,非均匀分布载荷,目录,10-2 梁的计算简图,简支梁(simply supported beam),外伸梁 (overhanging beam),悬臂梁 (cantilever beam),FAx,FAy,F
4、By,FAx,FAy,FBy,FAx,FAy,MA,静定梁的基本形式,目录,10-2 梁的计算简图,10-3 剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams),一、内力计算(Calculating internal force),18,FS剪力(Shear force) ，平行于横截面的内力合力,M 弯矩(Bending moment) ，垂直于横截面的内力系的合 力偶矩,10-3 剪力和弯矩,目录,截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。,+,_,10-3 剪力和弯矩,左上右下为正；反之为负,目录,二、内力的符
5、号规定 (Sign convention for internal force),20,截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。,10-3 剪力和弯矩,左顺右逆为正；反之为负,目录,Happy beam is positive; Crying beam is negative,解：,1. 确定支反力,2. 用截面法研究内力,目录,例题10-1,10-3 剪力和弯矩,分析右段得到：,目录,10-3 剪力和弯矩,截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。,目录,10-3 剪力和弯矩,截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。,目录,10-3 剪力和弯矩,25,目录,10-4 剪力、弯矩方
6、程与剪力、弯矩图 (Shear- force shear-force&bending-moment diagrams),FS= FS(x),M= M(x),一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bending-moment equations) 用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.,1.剪力方程(Shear- force equation),2.弯矩方程(Bending-moment equation),26,目录,弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧,二、剪力图和弯矩图 (Shear-force&bending-mo
7、ment diagrams),剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图,悬臂梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,目录,例题10-2,10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图,图示简支梁C点受集中力作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyFb/l FByFa/l,2写出
8、剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,目录,例题10-3,10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图,图示简支梁C点受集中力偶作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM / l FBy -M / l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,目录,例题10-4,10-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图,简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAy FBy ql/2,2写出剪力和弯矩方程,3.依方程画出剪力图和弯矩图。,目录,例题10-5,10-4 剪力、弯矩方程与剪
9、力、弯矩图,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,载荷集度、剪力和弯矩关系：,目录,载荷集度、剪力和弯矩关系：,q0，Fs=常数， 剪力图为水平直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。,2.q常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凸形。,3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。,4. 集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,5、也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。,
10、从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。,从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,34,二、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Fs图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。, 建立FS一x和M一
11、x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,例题10-6 简支梁受力的大 小和方向如图示。,试画出其剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,求得A、B 二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN,根据力矩平衡方程,2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,3建立坐标系 建立 FSx 和 Mx 坐标系,5根据微分关
12、系连图 线,4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在 FS x和 Mx 坐标系中。,0.89 kN=,1.11 kN,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,解法2：1确定约束力,FAy0.89 kN FFy1.11 kN,2确定控制面为A、C、D、B两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,4从A截面左测开始画弯矩图。,从A左到A右,从C左到C右,从D左到D右,从A右到C左,从C右到D左,从D右到B左,从B左到B右,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,例题10-7 试画出梁 的剪力图和弯矩图。,解：1确定约束
13、力,根据梁的整体平衡，由,求得A、B 二处的约束力,2确定控制面,由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa 左侧的截面，也都是控制面。,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,3建立坐标系 建立FSx和Mx坐标系,4确定控制面上的剪力值，并将其标在FSx中。,5确定控制面上的弯矩值，并将其标在Mx中。,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,解法2：1确定约束力,2确定控制面，即A、B、D两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,4求出剪力为零的点 到A的距离。,B点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2,AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/32,5从A截面左测开始画弯 矩图,目录,10-5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,小结,1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力,2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定,3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值,4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图,目录,45,作业： 101：（b），（d） 102：（b），（d），（f) 104：（b） 105：（b），（d），（f）,目录,
