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1、10 02 :卜户了一切 弓 阿贝尔恒等式与数学竞赛 肖振纲 (湖 南岳阳师专) 处理 , 往往可 以获得出奇制胜的效果 . 例1 . (19 89 , 美国数学竞赛)对每一 ,一 一n 十 (本 讲适合高 中) 阿贝尔恒等式是一个 极为重要的 、 但又 不大弓!起人们注意的初等恒等式 , 即 个正整数 : , 令夕 n i 一 2 + ,上 一一 睿 一其 (蘑 , 一 ) (“一“一 (睿 一 ) “ ” T 。= 5 1十 5 2 + 二 , 。r了 _ 1 . 1。 一r 。 ”, L J ” 一 丁 工宁 丁 工 + 一红 丸+ 1 T o. 试 求整数0。(、=, , 2 , ,
2、两次运 用阿贝尔恒等式 , 即得 生.1 龙), 于 2 , , : ) , 且乙 a、二 乙 乙 1. 。!,l又寸 任何 满 l, l 生三l 足 劣 , x : (毛劣 。 的实数 , 由于 x k一x:*: (0(k = 1 , 2 , , n 一 1) , 于是两次运用 阿 贝尔恒等式 , 即得 么 写 / 么 、 么 “= 总气么 “) (劣 一劣一 1 一 尸 , 又是 、 少 夕 扔 口 、 兄间 了.、 乙目 镇 X 、,/ a 。 艺 曰 Z 、 + 、1 了 只杂 二 蕙 (争)(六 - 1 (k + 1) 、,了 + (睿 一 ) D 一1 1 t -, . 而 于 户
3、 . 刀 一 认二(云 1 .1 “ 一 , (愈 。 ! ) 。 二 E 阮军 、 .厂了1 1 、 . / 启 , ; . 一 ,-石 .月 . ., 、扩 (、+ 1 ) / 拭 . 工 儿么 J 孔九 乙均 一一 1 一1 = 甲 无 。 丈 廿 一 k 艺 故不等式( 3 )成立 , a 、= 无(无二1 , 2 , ” , 汁 . 一 般 地 , 设 a)o 必要性 . 设对任何满足 x 。 蕊 x Z ( 蕊 , 。 的实数 , 不等式( 4)成立 . 于 (4)式 中 , 取 介 = 义 2 = 二 二劣 、= 一 1 , 劣k月 1= 二劣 。= O 且式中等号当月 . 仅当
4、 儿 )时成立 . , 吞 ” , 则有 (1k( 。 一 1 ) , 则有 一 E a, ( 一 乙 乙 , . 主二1 1,1 乙 k ” 一 “ k= l 因此 , 艺 a,) 兄 西;( k 二x, 2 , , ,一 i) . 1= 1 李 心一朴 云 例3 . ( 1 98 6 , 数学竞赛集训班选拔赛) 设 aj, 乙 , ( i 一1, 2 , , : )是两组实数 . 证明 , 使得 对任何满 足 x , 岌 x : ( 义 。 的 实数 , 不等式 又 于(4)式中 , 分别取 万 二一 1与1 , 贝 l有 二X 。 二 二 f X 。 a: 一 艺 l , 艺 “、镇 乙
5、 乙 , . i= 。 乙间 故b i 万 仆a ; 劣 . .曰 ( 乙 乙 ,义 (4) 习 “袅二 乙 乙 ,. 1l二1 恒成立 的充分必要条件为: 名 。i ) 兄 石 : 1 ,二 注 : (i 二 由 充分性可 以证明 排序原 理 : 设两组实数 ai 1 , 2 , , n )满足 葱.1 a :( a: 镇a 。, bl蕊b:悦镇b 沪而 1902 才F 第 一朔 7 kx , k玉 , , k n 是了 , 与 ,n 的任 意一个 排 r l J , 则有 ( ”一1 ) , 于是再由阿 贝尔恒等式以及条件 曰汀 产了 1日日 . 日 叭 0 勺, 践 兄 a, ” n*
6、:一, 屯 兄 “, b 、, 一 乙 ”, b , (匕) 事实上 , 因bl成b三(b 。 , kx , k三 , , k 。是 云 U一 1竺 1 ) ( 人 一 兄 二 X I, 2 , , 帅勺 一个排列 , 所以有 到 乙 二, 乙 “kJ 乙 “j = 1 . 2 , n一 ; )且 乙 “: n- , t J廿1 找 l r , , _ / . 飞 子1 _ 2 二 “ 一口、+ , ) 一a u ) 。 a 1一2 = 乙 b1 . 又a:簇”玉a 。, 丁是 由 (4)式 即 知 兄 a、b、, 公 a, ”: . 、; 、 。口月 一1 怂沉明” m”诀万 . 又 当 工
7、:= 一 X n 1 - 一丁 月 . 1=11一1 x Z= 二 = x 卜 1= 0时 , 有 a i 一 2 一 一 这就证 明了( 6 )式右边的不等式 . 同理可证其左边的 不 等式 。 一a n ) 。 例4 . (1988 , 理科实验班复试)设 x , i一 2 一一 x Z, 二 。 与 。:,。, , a 。是满足 条件 : 乙 x ,= o ; 1. 1 兄 !戈 , 卜 1; 故A 。, 注1 . 则有 于 ( 。)式中, 今 a,= 李i = 1,2 n . ) , 1 o l= 1 钾 1 一 1 ) . 2 o 3 O a, ) a : ) 二 李 a n 的两组
8、任意实数( ”) 2) . 试求使不等式 此即198 9年全国高中数学联赛 第二试第2题 注 : : 一般地 , 如果复数列毛z : 满足条 件E : : 悦 A ( a ; 一 口 。) (6) 1 = 1 X 。 乙曰 成立的A的最小f食 . 解 l一条介 : i “, 2 “, 头 ! 二 P , 艺 I : = q , 则对任意实数列王 a ( 1长i !竺 ,1 )有 。 艺 声 ! 声 r 2 念 义 一 么 x 一卜 1i二k+1 x l 乙 。,: i , l 一1 , , ;泛万二气里 以 一 I “户任宁 1 11乙F 】, 乙 招 , , ,i / . 人 嘴 决 之 !
9、二 z 枣 中 , M 二 m ax ( ai , m 二 r n111 a 簇 乙 x : = 1 . 因而 , 1毛熟尸 n1 一 泛i簇 n i=1 例5 . ( 198 7 , 数学竞赛集训班选拔赛) ( k = 1 , 2 , , , 卜 1) . 又由条件 3 。, 有 a、一a k* , ) 0(1蕊k 已知数列 1 。 满足 :二 2 , : 。二: : :卜 , + 1( n ) 2) , 自然数a : , aZ , ,a 。满 足 8 中 产弓 迄乞丫 - 则由阿 贝 尔恒等式 , 有 / 1 . 求证 : 乙 “ a 州 , ) 一 气 u 乙川 n n 二 乙 乙 一1
10、 、 (。 、 馨去 馨六 (7) 证明首先 , 不难用归纳法 证明数列 : 。 具有如下性质 : (诊如 犷1犷: 下 。. 此 与 11 ) 式矛盾 . 这说 明 , 当 7:= m+ 1时 , 不等式(7)必成立 . 这就归纳地证明了不等 式(7) 。 对于有些涉及数列和式的等式或不等式 问题 , 我们可以先用阿贝尔恒等式进行一次 恒等变换 , 然后再设 法使其重新 出现原来的 和式 , 从而通过解方程或解不等式使问题获 得解决 . 例6 。 设数列 a 。 是一个公差为d的等差 数列 . 求证 、 、 . 了 a. (石幼 二 一a、 卜 , )兄 。气= 譬 “! (“ 王一 厅,
11、+ 脊 (“ 1 镇 (睿劲 . (Za :, 月 一 d) 。 (a k一a x 一、 1 ) . 证明 由假设 , 有 a、- (2) a k十工二 一d 。 于是 , 若当 n= m 十1 时 , 不等式(7 )不成立 , k d “ 气 十 :一a, (无二1 , 2 , , : 一 1) . 由等 差数列的求和 公式 , 知 即有誉生 艺 鱼 . 二 a, i舀i气 (10) E a: _ 1 了 _ , _ 一 一二凡 弋乙砂1 艺 十a 、) (k 二 l , 2 , , ”) . 1992 年 第一期 , 9 , 记5 . = 名 、 , 则由阿贝 尔恒等式 , 有 n 补 、
12、/ 认石 训了“ , + 音 n a! + a , Za + d, 解 出S 。即 得 (12)式 . 注 。 由( 1 2) 式立 即 可 得 洲 k / 1 石 二 台口万 了于兀了飞从丁 台斌 S 了 、 1一2 一 乙 , , 含 n (!飞+ “,、Zn+ 1 、。 = -二尸 O 乙 1、一 “ n ) . t州此 , S 。 nv/花 】 , 一 侧 n ) . (2:一 1), 二 音 n(n,一1) . 加 ,二 , 一、 _。 。 八 、Z n 十1 , , 一 附拼乙小 笼吞 不又,行r合 。洲尸 一不 丫 ” 。 J (第1 3届普特南数学竞赛)试证 EI - l 邵
13、对于 每一个正整数 n, 有 这就证明 了 (1 4 )式左边的不等式 。 同样 , 由阿 贝尔 恒等式 , 有 10 中 等 数 学 s 。= E 令 j一z 丫 2 练 习题 = 氮 (乡)(六 一 扁) (会 , )六 . 设 s; k,= 艺 产 . 求证 : 乙 s “) + s二 , + ” =n s二 , . 岁幻 火上业 二 2 1 夕蔽莎布介它疚万舀花3 2 . (钟开莱不等式)设两组实数 : , 吞 、 (i = i , 2 , , n )满足条件 : 1 O a l) a : ) ) a : 0, 干 丝兰士丝 2 1 了 作 z 。 乙 ;, 艺: (无=i , 2 ,
14、 , , ) . = 生 岁 Z 翻吮 训k(k +1) ”+ 1 , 一 夕不下7无百万 十 丁 了 : 求证 : E : 飞簇兄 b认 i口 1 1, 1 但沂 粤盖 。, , S 。 试证 , 当x( 0 , 2二)时 , 有 故乙关 采瓷 精诉 了、 . 又一,C057X l 一 1 Z _. 曰蔑 . 二二 2 . X “n 百 1 , .。 =代产气若臼. 一勺 产 尤一l产. 4 ,1 ., .。 , 1 , 。 , 一 :、 . 咒+ 1 一 四 刀 毛 , 合 。久下 、臼 。 一 V n 一lj甲 一厅一丫 n , O 乙 。 , r 。 凸,弋、; 一 合 4 解此不等式
15、 , 班号与 元- 得“式 罕 召 1 百 . 4 . (1985 , 加拿大培训题)设两组实数 a, 乙 i(i= 1 , 2 , , , )满足条件 : 1 O a一) a: ) a 。) 0, 2 0 b l)a l, b l b : ) azaZ, b x 乙 2 b s ) a xa: a3 , ” , b i 今 : b 。 ) ala Z a二 试证 , 名 b , ) 乙 a, , 并确定等号成立的条 1 一 万 . 至.1!,1 因而(14)式右边 的不等式得证 . 由以上几例可以看 出 , 阿 贝尔 恒等式是 处理 与数列和式有关的等式或不等式问题的 一个有力工具 . 值得一提的是 , 排序原理不 过是阿 贝尔 恒等式的一个 简 单 “推 论”而 已 . 因此 , 凡能用排序原理处理的不等式问 题皆可用阿 贝尔恒 等式处理 . 另外 , 阿贝尔 恒等式除了可 以处理某些不等 式问题 外 , 还 可 以处理一 些等式问题 , 1象例 3 至例 5以 及例 7 那样的 不等式问题 则是排序原理所望 尘莫及的 , 因此 , 阿贝尔恒等式的功能 要 比
