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1、（1）命题特点和预测：命题特点和预测： 分析近 8 年的全国新课标 1 的函数与导数大题，发现 8 年 8 考，每年 1 题，第 1 小题主要考查函 数的切线、函数的单调性、极值、最值，第 2 小题主要考查零点个数、方程解得个数、切线的条 数、极值点个数、不等式的证明、函数能成立与恒成立问题、范围问题，考查分类整合思想与分 析解决问题的能力，第 1 小题是基础题，第 2 小题是压轴题，为难题.2019 年函数与导数大题仍为 压轴题，主要考查导数的几何意义、常见函数的导数及导数的运算法则、利用导数研究函数的图 象与性质，进而研究零点个数、方程解得个数、切线的条数、极值点个数、不等式的证明、函数
2、能成立与恒成立问题、范围问题，考查分类整合思想与分析解决问题的能力，难度为难题. （二）历年试题比较：（二）历年试题比较： 年份 题目 2018 年 【2018 新课标 1，文 21】已知函数 （1）设是的极值点求 ，并求的单调区间； （2）证明：当时， 2017 年 【2017 新课标 1，文 21】已知函数. （1）讨论的单调性； f x （2）若，求的取值范围 0f x a 2016 年 【2016 新课标 1，文 21】已知函数. （I）讨论的单调性； ( )f x （）若有两个零点，求的取值范围. ( )f x a 2015 年 【2015 高考新课标 1，文 21】 （本小题满分
3、12 分）设函数. （I）讨论的导函数的零点的个数； f x fx （II）证明：当时. 0a 2014 年 【2014 全国 1，文 21】设函数，曲线 处的切线斜率为 0 （1）求 b; （2）若存在使得，求 a 的取值范围。 0 1,x 2013 年【2013 课标全国，文 20】(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在 点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4. (1)求 a，b 的值； (2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值 2012 年【2012 新课标全国 1，文 21】设函数 f(x)= exax2 ()求 f(x)的单
4、调区间； ()若 a=1，k 为整数，且当 x0 时，(xk) f(x)+x+10，求 k 的最大值 2011 年 【2011 新课标全国 1，文 21】已知函数=，曲线=在点（1，）处 ( )f x ln 1 axb xx y( )f x(1)f 的切线方程为. （）求，的值； ab （）证明：当0，且1 时，. xx ( )f x ln 1 x x 【解析与点睛解析与点睛】 （2018 年）年）【解析】 （1）f（x）的定义域为，f （x）=aex 由题设知，f （2）=0，所以 a= 从而 f（x）=，f （x）= 当 02 时，f （x）0 所以 f（x）在（0，2）单调递减，在（2，
5、+）单调递增 （2）当 a 时，f（x） 设 g（x）=，则 当 01 时，g（x）0所以 x=1 是 g（x）的最小值点 故当 x0 时，g（x）g（1）=0 因此，当时， （2017 年）年）【解析】 （1）， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 0a f x R 当时，恒成立，令，则， 0a 2e0 x a 0fx e0 x a 故，所以在上单调递增，同理在上单调递减 lnxa f xln , a ,lna 当时，恒成立，令，则，即， 0a e0 x a 0fx 2e0 x a 所以，所以在上单调递增，同理在上单调递 f x 减 （2）当时，恒成立，符合题意； 0a 当时， ， 0a 故，
6、即； 01a 当时， 0a ， 从而，故，所以 3 4 e 2 a 3 4 e20a 综上所述：的取值范围为 a 3 4 e ,12 【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论 函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调 ( )fx( )fx( )f x 区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值 范围，得出函数的极值或最值 ( )f x （2016 年）年）【解析】 (I) (i)设 0a ，则当 ,1x 时， 0fx ；当 1,x 时， 0fx . 所以在 ,1 单调递减，在
7、1, 单调递增. (ii)设 0a ，由 0fx 得 x=1 或 x=ln(-2a). 若 2 e a ，则，所以 f x 在 , 单调递增. 若 2 e a ，则 ln(-2a)( )fx 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当 0a 2x e a x - ( )fx () 0 +， ( )0fa b 满足且时，,故当时，存在唯一零点. 0 4 a b ( )fx （II）由（I） ，可设在的唯一零点为，当时，; ( )fx () 0 +， 0 x ()0 0xx， ( )0fx 故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小 ( )f x() 0 0x， ()0+ x，
8、 0 xx=( )f x 值为. 0 ()f x 由于，所以. 故当时，. 0a （2014 年）年）【解析】 （1）=，由题设知，=0，=1.4 ( )fx(1) f 1 bb 分 （2）的定义域为（0，+） ，由（I）知，=， ( )f x ( )f x =， ( )fx 当时，0，1，当 1 时，0，则在（1，+）是增函数， a 1 21 a1 a ax ( )fx( )f x 当要使存在使得，则=，解得 0 1x (1)f 1 1 2 a 1 a a ； 12 a12 当=时，=0，故在（1，+）是增函数，存在使得 a 1 2 ( )fx 2 (1) 2 x x ( )f x 0 1x
9、 ，则=1，适合； (1)f 1 1 2 a 3 4 1 a a 当1 时，0，1，当时，0，则在 1 2a1 a1 a ax1 a a ( )fx( )f x （，+）是增函数，当 1时，0，则在（1，）上是减函数， 1 a ax1 a a ( )fx( )f x 1 a a 要使存在使得，则，而= 0 1x () 1 a f a1 a a () 1 a f a ，不合题意 1 a a 当1 时，0，1，当1 时，0，则在（1，+）是减函数， a1 a1 a ax ( )fx( )f x =0，适合； (1)f 1 1 2 a 1 2 a 1 a a 综上所述，的取值范围为（， a12 （2
10、013年）年）【解析】 （1）=. ( )fx 由已知得=4，=4，故，=8，从而=4，； (0)f(0) f 4b aba4b （2）由（）知，=， ( )f x =， ( )fx 令=0得，=或=-2， ( )fx xln2x 当时，0，当（-2，）时，0， ( )fx xln2 ( )fx 在（-，-2），（，+）单调递增，在（-2，）上单调递减. ( )f x ln2ln2 当=-2时，函数取得极大值，极大值为. x ( )f x （2012 年）年）【解析】()的定义域为，. f x, 若,则,所以的增区间为,无减区间； 0a 0fx f x, 若,则当时，; 当时，,所以在减区间为
11、 0a 0fx 0fx ,增区间为. ,lnaln , a ()由于 a=1，所以. 故当时，(xk) f(x)+x+10 等价于 0x ， 0x 令，则. 由()知，函数在上单调递增，而，所以在 0, h x 上存在唯一的零点，故在上存在唯一零点.设此零点为，则. 0, gx 0, 1,2 当时，；当时，.所以在上的最小值为 0,x 0gx ,x 0gx g x0, .又由，可得，所以. g g 2e 由于等价于，故整数的最大值为 2. 0x kg k （2011 年）年）【解析】 （） 由于直线的斜率为，且过点，故即 1 2 (1,1) 解得，。 1a 1b （）由（）知，所以 考虑函数，
12、则 x x1 2 (0)x 所以当时，故 1x 当时， ) 1 , 0(x 当时， ), 1 ( x 从而当 （三）命题专家押题（三）命题专家押题 题号题号试试 题题 1. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值点个数. 2. 己知函数 （）讨论函数的单调增区间； （）是否存在负实数 a，使，函数有最小值-3 3. 设函数 (I)求函数的极值； ()若不等式，对任意实数恒成立，求实数 a 的取值范围. 4. 已知函数. （1）若函数的极小值为 0，求 的值； （2）且，求证：. 5. 已知函数. （1）若，判断函数的单调性； （2）讨论函数的极值，并说明理由. 6
13、已知函数，其中， 若是的一条切线，求 a 的值； 在间的前提下，若存在正实数，使得，求的取值范围 7 已知函数，. （1）求单调区间； （2）若在上恒成立，求 的取值范围. 8 已知函数 （1）若，求函数的极值和单调区间； （2）若，在区间上是否存在，使，若存在求出实数 的取值 范围；若不存在，请说明理由. 9 已知函数（ 为自然对数的底数） （1）记，求函数在区间上的最大值与最小值； （2）若，且对任意恒成立，求 的最大值 10 已知函数有两个极值点，. （1）求 的取值范围； （2）求证：. 【详细解析详细解析】 1.【解析】 （1）依题意，故， 又，故所求切线方程为. （2）依题意. 令
14、，则，且当时，当时， 所以函数在单调递减，在单调递增， 当时，恒成立，. 函数在区间单调递增，无极值点； 当时， 故存在和，使得， 当时， 当时， 当时，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为 函数的极大值点，为函数的极小值点. 综上所述，当时，无极值点；当时，有 个极值点. 2.【解析】 （）， （1）当时，当时，所以函数单调递增，增区间为 ； （2）当时， 当时，所以函数是上的增函数，增区间为； 当时， 或，所以函数单调增区间为； 当时， 或，所以函数单调增区间为； （3）当时， ，所以函数单调增区间为， 综上所述： 当时，函数的单调增区间是； 当时，函数的增区间是； 当时，函数单调增区间是； 当时，函数单调增区间为； 当时，函数单调增区间为. （）假设存在负实数 a，使，函数有最小值-3， （1）当时，即当时，由（）可知：当时，函数单调 增区间为，所以，解得，符合题意； （2）当时，即当时，结合（）可知：函数在单调递减，在 单调递增，所以，化简, 不符合题意，综上所述：存在负实数，使，函数有最小值-3 3.【解析】 （） 令，则， 当，单调递减， 当时，单调递增， 所以的极小值为，无极大值 （）因为不等式对任意实数恒成立， 所以，对任意实
