柱面锥面旋转曲面与二次曲线

解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面1第四章 柱面 ·锥面 ·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1 柱 面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面2二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线 方程 0),(21zyxF(1)母线的方向数 X,Y,Z.即 ZYXv,(2)任取柱面准线 上一点 则过此点的母线方程为 )(11zyxMZYX1且有 , .从而消去参数 最后得到一个三元方0),(11zyxF0),(12zyxF1,zyx程 ，这就是以 为准线, 母线的方向数 X,Y,Z 的柱面, ),(2方程.三.例题讲解例 1.柱面的准线方程为 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面2212zyx的方程.解 设 是准线上的点,那么过 的母线为),(11zyxM),(11zyxM, 且 (1)0122121设 ,那么 , ,代入(1)tzyx111 ,txytz1得 可得 ,即 2)(2)(tzytx 0)(2tzzt求得柱面方程为 .12ytx例 2. 已知圆柱面的轴为 ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这z柱面的方程.解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面3成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离 为半径的球面 与过知点(－1,－2,1)且垂直于14d 14)()1(222zyx轴的平面 的交线,即准线圆的方程为032zyx 03214)()1(2zyx设 为准线圆上的点,那么 ,),(1 4)()1(2221zyx 11且过的 母线为 .消去参数 即得所求的圆柱,1zyx1x 1,zyx面方程 .091845822 zyzy解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为 ,轴上的定点为 ,而圆柱面上的点为2,1v )10(M,所以 ,因此 到轴的距离为)12(M30 ),21(3710vd再设 为圆柱上任意点,那么有 即),(zyxM3170vMd317)2(11222yxxz化简整理得 .09845822 zyzxyzyx定理 4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。

即证方程 （11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与0),(yxFz 轴)证 取曲面（11）与 xOy 坐标面的交线 （12）为准线，z0),(zyxF解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面4轴的方向 0：0：1 为母线方向，来建立这样的柱面方程设 为准线(12) 上的任意一点，那么过 的母线为),(yxM1M，即 （13）101z1yx又因为 在准线（12）上，所以有 （14）),(yx 0),(1yF（13）代入（14）消去参数 ，就得所求的柱面方程为 ，这就是方1,yx ),(x程（11） ，所以方程（11）就是一个母线平行于 z 轴的柱面常见柱面方程(1) 椭圆柱面 )0(12bayax(2) 圆柱面 R(3) 双曲柱面 )0,(12bayax(4) 抛物柱面 p空间曲线的射影柱面通过空间曲线 L 作柱面,使其母线平行于坐标轴 轴,设这样的柱Ozyx或,面方程分别为 , , 这三个柱面分别叫曲线 L 对0)(1zyF)(2zx0)(3yF坐标面的射影柱面.xOzy与,作业 4,32147P解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面5§4.2 锥 面一.锥面定义空间中由通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫锥面.锥面的顶点:定点;母线:一族直线;准线:定曲线.二.锥面的方程空间直角坐标系下,顶点为 ,准线方程 :),(0zyxA0),(21zyxF任取准线上一点 ,则过此点的母线方程为),(11zyxM且 , .010101z 0),(11zyx0),(12zyx从而消去参数 最后得到一个三元方程 这就是以,zyx ,F为准线, 为顶点的锥面方程.0),(21zF),(0zyxA例 1、 锥面的顶点在原点，且准线为 ，求锥面的方程。

czbyax12解 设 为准线上的任意一点，那么过 的母线为 ),(11zyxM),(11zyxM， （1）11且有 （2）2byax（3）cz1由（1） （3）的 （7）yx1,（7）代入（5）得所求的锥面方程为 ，122zbycax或把它改写为 ，这个锥面叫做二次锥面022czbyax解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面6二.锥面与齐次方程定理 4.2.1 一个关于 x,y,z 的齐次方程总表示顶点在原点的锥面.证 设有关于关于 x,y,z 的齐次方程 ,那么根据齐次方程的定义有0),(zyxF所以 曲面过原点.),(),(zyxFtztyx0t有时 ，当再设非原点 满足方程,即有 那么直线 的)0M),(0zyx0OM方程为 代入 ,即有 .tzyx0),(zyx ),(),( 00FttF所以整条直线都在曲面上,因此曲面 是由通过坐标原点的直线),(zyx组成,即他是以原点为顶点的锥面.虚锥面 022zyx推论 关于 的齐次方程表示顶点在 的锥面.0,,),(0zyx作业 54215P解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面7§4.3 旋 转 曲 面一.旋转曲面的定义空间一条曲线 绕着定直线 旋转一周所产生的曲面叫旋转曲面(回旋曲面)l母线: 曲线 ;旋转轴(轴): 定直线 .l纬线: 旋转曲面母线上任一点在旋转时所形成的一个圆,称之为线圆(纬线).经线: 以轴 为界的每个半平面与曲面交成一条曲线,称为经线.(平面曲线)l二.旋转曲面的方程1.一般情形下的曲面方程空间直角坐标系下,旋转曲面母线方程 :0),(21zyxF轴 : l ZYX0任取母线上一点 ,则过此点的线圆方程为:),(11zyxM 0)()()( )()()(111201201222020ZYxX zyx且有 , .消去参数 最后得到一个三元方程,1zyF,2zyF1,z,此即为以 为准线, 为轴的旋转曲面的方程.0),(xl例 1 求直线 绕直线 旋转所得的旋转曲面的方程.012zxzyx解 设 是母线上的任意点,因为旋转轴通过原点,所以过 的纬),(1yM 1M圆方程是 由于 是母线上的点,所以又212121)(zxzx ),(11zyxM有 ,即 .消去参数 最后得到旋转曲面方程为012y,11y1,07)()(5)(22 zyxzxzx2.以坐标面上的曲线为准线、坐标轴为轴的旋转曲面的方程 解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面8旋转曲面的经线可作为母线,通常把母线所在平面取作坐标面而旋转轴取作坐标轴,此时旋转曲面的方程具有特殊的形式.设旋转曲面的母线为 : ,旋转轴为 轴, 若0),(xzyFy01zyx为母线 上的任意点,那么过 的纬圆为 ,且),0(11zyM1M212210zyzx有 ,消去参数 得所求的旋转曲面的方程为 .,1F1,zy 0),(xF同样若将曲线 绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程是 . ,2zy因此,当坐标轴上的曲线 绕此坐标平面里的一个坐 标轴旋转时,为了求出这样的旋转曲面的方程,只要将曲线 在坐标面里的方程保留和旋 转轴同名的坐标,而以其它两个坐标平方和的分方根来代替方程中的另一根.例 2 将椭圆 : 分别绕长轴( 轴)与短轴( 轴)旋转,求所0)2zbayxxy得旋转曲面的方程.解 旋转轴是 轴,同名坐标是 ,在方程 中保留坐标 不xx)(02bayx变,用 代 ,便得到椭圆绕其长轴旋转的曲面方程为 .2yx 122zyx同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为 .122azbyx上述二曲面分别叫长形旋转椭球面,扁形旋转椭球面.例 3 将双曲线 : 绕虚轴(z 轴)旋转的旋转曲面方程为012xcyb; 绕实轴(y 轴)旋转的旋转曲面方程为 .分别122czbyx 122czybx称为单叶旋转双曲面与双叶旋转双曲面.解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面9例 4 将抛物线 : 绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为02xpy称之为旋转抛物面.pxyx22例 5 将圆 : 绕 z 轴旋转,求所得旋转曲面的方程.0)0()(22abzby解 绕 z 轴旋转 ,所以在方程 中保留 z 不变,而 y 用22)(ay代替就得到旋转曲面方程2yx, 或22)(azb )(4)( 22222 yxbzyx作业 ,158P解析几何教案第四章 柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面10§4.4 椭 球 面定义 4.4.1: 在直角坐标系下,由方程 (1) 所表示的曲面叫椭122czbyax球面,或称椭圆面.方程称为椭球面的标准方程,其中 a,b,c(a＞b＞c)为任意的正常数.一.椭球面性质1.当(x,y,z)满足方程时, 也一定满足.椭球面关于三坐标平),(zyx面,三坐标轴,坐标原点都对称.2.椭球面的对称平面,对称轴与对称中心分别叫它的主平面,主轴与中心.3.椭球面与它的三对对称轴即坐标轴的交点分别为 , ,)0(a)(b,这六个点叫做椭球面的顶点.)0,(c4.同一对称轴上的两顶点间的线段以及它们的长度 2a,2b,2c 叫椭球面的轴.半轴,长(半)轴,中(半)轴,短(半)轴.5.任何两轴相等的椭球面一定是旋转椭球面,而三轴相等的椭球面就是球面.椭球面三轴不相等时,叫三轴椭球面.6.椭球面上任何一点的坐标总有(x,y。