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1、 2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第三篇压轴3 圆锥曲线综合问题【热点考法】高考对圆锥曲线综合问题的考查，往往从确定圆锥曲线的标准方程开始，结合直线与椭圆、抛物线的位置关系，以平面向量、弦长公式、设而不求思想为工具探求定点与定值问题、探究与存在性问题、参数范围问题、最值问题等，综合考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、灵活运用数学知识分析问题解决问题的能力，分值12分，为难题.【热点考向】考向一 圆锥曲线的最值、范围问题【解决法宝】 圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及
2、平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解例1【2017届安徽省合肥市高三第一次模拟】已知点为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点.（）求椭圆的方程；（）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点， ，若，求实数的取值范围.【分析】（）求椭圆标准方程，只要求出参数，由于有，因此要列出关于的两个方程，而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得，再利用已知直线与椭圆只有一个公共点，即判别式为0可求得椭圆方程；（）由（）得点的
3、坐标，从而可得，要求范围只要求得的范围，为此可直线分类，对斜率不存在时，求得，而当直线斜率存在时，可设出直线方程为，同时设，则，由韦达定理可把表示为的函数，注意直线与椭圆相交，判别式0，确定的范围，从而可得的范围，最后可得的取值范围.【解析】（）由题意，得，则椭圆为： ，由，得 ，直线与椭圆有且仅有一个交点， ，椭圆的方程为 ；依题意得， ，且 ， ， ， ， 综上所述， 的取值范围是 .考向二 定点、定值问题【解题法宝】1.定点问题：求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系
4、数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明2.求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值例2【河北省曲周县第一中学2017届高三下学期第一次模拟考】已知椭圆： 的离心率为，点在椭圆上， 为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）已知点为椭圆上的三点，若四边形为平行四边形，证明：四边形的面积为定值，并求该定值.【分析】（1）由椭圆离心率，可得 ，将 代入椭圆方程可得 ，则椭圆方程可求；（2）分情况讨论，当不存在
5、时， 方程为： 或，可得 当直线的斜率存在时，设直线方程为： ， ， 将的方程代入得： ，可求得 由得： ，将点坐标代入椭圆方程得： 又到直线的距离，最后由.综上，平行四边形的面积为定值【解析】（1）由，得，将代入椭圆的方程可得，所以，故椭圆的方程为点到直线的距离，.综上，平行四边形的面积为定值考向三 探索新问题【解题法宝】解决存在性问题应注意以下几点：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，
6、采取另外的途径例3【辽宁省鞍山市2017届高三下学期第一次质量检测】过椭圆： 上一点向轴作垂线，垂足为右焦点， 、分别为椭圆的左顶点和上顶点，且， .（）求椭圆的方程；（）若动直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.【分析】（）由得，解得， ，结合，即可求椭圆的方程；（）先求得直线的斜率不存在及斜率为零时圆的方程，由此可得两圆所过公共点为原点，当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为代入椭圆方程消掉得的二次方程，设，由韦达定理、向量数量积可得的表达式，再根据线圆相切可得的关系式，代入上述表达式可求得，
7、由此可得结论.当直线垂直于轴时， ， ，所以，又，解得，不妨设， 或， ，即直线的方程为或，此时原点到直线的距离为.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程： ，因为直线与椭圆交于， 两点，所以方程的判别式 ，即，且， .由，得 ，所以 ，整理得（满足）.所以原点到直线的距离.综上所述，原点到直线的距离为定值，即存在定圆总与直线相切.【热点集训】1.【河北省石家庄市高三数学一模】已知椭圆： 的左顶点为，右焦点为， 为原点， ， 是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于， 两点（）求的面积的最小值；（）证明： ， ， 三点共线.（）， ，直线的方程为，由得，由，得，同理可得， 故由可
8、知： ，代入椭圆方程可得，故， 分别在轴两侧， ， ， 三点共线2. 【吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考】已知是椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足（）求椭圆的标准方程；（）圆是以为直径的圆，一直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点、，当，且满足时，求的面积的取值范围【解析】（）因为，所以 是线段的中点，所以是的中位线，又所以,所以，又因为 ，解得，所以椭圆的标准方程为. （）因为直线与相切，所以，即 联立得.设因为直线与椭圆交于不同的两点、， 所以， ，又因为，所以解得.， 设，则单调递增，所以，即3.【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟】已知椭圆的
9、离心率，右焦点，过点的直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若点关于轴的对称点为 ，求证: 三点共线；(3) 当面积最大时，求直线的方程.【解析】(1) 由， 椭圆的方程是. (3)设直线的方程为. 由方程组，得，依题意，得.设，则，令，则，即时， 最大， 最大时直线的方程为.4.【2017届河南省安阳市高三第一次模拟】已知椭圆： 的上下两个焦点分别为， ，过点与轴垂直的直线交椭圆于、两点， 的面积为，椭圆的离心力为（）求椭圆的标准方程；（）已知为坐标原点，直线： 与轴交于点，与椭圆交于， 两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围（）若，则，由椭圆的对称性得，即，能使成立若，由，得，
10、因为， ， 共线，所以，解得设， ，由得，由已知得，即，且， ，由，得，即，即当时， 不成立，即，解得或综上所述， 的取值范围为5.【广西陆川县中学2017届高三下学期知识竞赛】已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足， （1）求点的轨迹方程；（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积【解析】（1）由的焦点为的顶点，得的焦点 ， 令的方程为，因为在上，所以于是由解得， ，所以的方程为由直线与椭圆交于、两点，知、关于原点对称，所以令点， ，则， ， 于是由， ，得即两式相乘得又因为点在上，所以，即，代入中，得
11、当时，得；当时，则点或，此时或，也满足方程若点与点重合，即时，由解得或若点与点重合时，同理可得或综上，点的轨迹是椭圆除去四个点， ， ， ，其方程为（， ）6. 【广东省揭阳市2017届高三第一次模拟】如图5，已知椭圆的上顶点为，左、右顶点为，右焦点为， ，且的周长为14.（I）求椭圆的离心率；（II）过点的直线与椭圆相交于不同两点，点N在线段上设，试判断点是否在一条定直线上，并求实数的取值范围【解析】（I）由，得， 的周长为，即，得，所以，椭圆的离心率为； （II）显然直线l的斜率存在，设l的方程为，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，由，得，化简得，-6分由消去x，得，
12、得， ，代入式得，由得， 因为，得，所以，因此，N在一条直线上，实数 7.【辽宁省大连市2017届高三第一次模拟】已知椭圆： ， 分别是其左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求的最小值.【解析】（） 由题意可知，故椭圆的方程为.() 设直线方程为，代入有， 设， 中点，.的垂直平分线方程为，令，得，8.【四川省成都市2017届高三第二次诊断】在平面直角坐标系中，已知椭圆（），圆（），若圆的一条切线与椭圆相交于两点.（1）当， 时，若点都在坐标轴的正半轴上，求椭圆
13、的方程；（2）若以为直径的圆经过坐标原点，探究是否满足，并说明理由.【解析】（1）直线与相切，.由， ，解得.点都在坐标轴正半轴上，.切线与坐标轴的交点为， .， .椭圆的方程是.（2）的关系满足.证明如下：设， 以为直径的圆经过点，即.点在直线上，. （*）由消去，得.即显然由一元二次方程根与系数的关系，得代入（*）式，得.整理，得.又由（1），有.消去，得满足等量关系.9. 【2017届陕西省咸阳市高三二模】已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点，试问在轴上是否存在一点（与点不重合），使得，若存在，求出点
14、坐标；若不存在，说明理由【解析】（I）法1：设,则依题意有整理得,即为曲线的方程. 法2：由椭圆第二定义知，曲线是以为焦点，以直线为相应准线，离心率为的椭圆，易得曲线的方程为. 10.【2017届山东省平阴县第一中学高三3月模拟】已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为.（）求椭圆的标准方程；（）设为椭圆的下顶点， 为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为.（）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；（）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值.【解析】（）由题意设椭圆的方程为，则，又，则椭圆的方程可求:（）（）讨论可知，直线的斜率存在，设所在直线方程为，联立，消去得： ，设， ， ， ，将上述结论代入可得.又由题意解得： .即直线恒过点（0,0）.（）由（）知， ，而，.当时，设所在直线方程为，则， ，当时，亦符合上式， .令， ，当，即时， 取最大值4，
