《专题08 导数与不等式、函数零点相结合-三年高考（2015-2017）数学（理）试题（附解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题08 导数与不等式、函数零点相结合-三年高考（2015-2017）数学（理）试题（附解析）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题08 导数与不等式、函数零点相结合-三年高考（2015-2017）数学（理）试题【2017年】1.【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=ABCD1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足，设，则，当时，当时，函数 单调递减，当时，函数 单调递增，当时，函数取得最小值，设 ，当时，函数取得最小值 ，若，函数与函数没有交点，当时，时，此时函数和有一个交点，即，解得 .故选C.【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想2.【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求
2、导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.所以的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点.（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.【考点】
3、含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.在大于0的点.3.【2017课标II，理】已知函数，且。(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且。【答案】(1)；(2)证明略。【解析】试题解析：（1）的定义域为。设，则，等价于。因为，因，而，得。若，则。当时，单调递减；当时，单调递增。所以是的极小值点，故综上，。（2）由（1）知 ，。设，则。当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增。又， ，所以 在 有唯一零点，在 有唯一零点1，且当 时， ；当 时， ，当 时， 。因为 ，所以是的唯一极大值点。由得，故。 由 得 。因为是在（0,1）的最大值点，由， 得。 所以。【考点】
4、利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值4.【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（）求的单调区间；（）设，函数，求证：；（）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.【答案】（1）增区间是，减区间是.（2）（3）证明见解析【解析】试题分析：由于为，所以判断的单调性，需要对二次求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间;由，得，.令函数，分别求导证明.有关零点问题，利用函数的单调性了解函数的图像情况，对极值作出相应的要求可控制零点的个数.试题解析：（）由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：x+-
5、+所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.（）证明：由，得，.令函数，则.由（）知，当时，故当时，单调递减；当时，单调递增.因此，当时，可得.（III）证明：对于任意的正整数，且，令，函数.由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.由（I）知在上单调递增，故，于是.因为当时，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.又因为，均为整数，所以是正整数，从而.所以.所以，只要取，就有.【考点】导数的应用【2016年】1【2016高考新课标1卷】已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【答案
6、】【解析】试题分析：(I)求导,根据导函数的符号来确定,主要要根据导函数零点来分类；(II)借组第一问的结论来证明,由单调性可知等价于,即设,则则当时,而,故当时,从而,故试题解析;（）（i）设,则,只有一个零点（ii）设,则当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增又,取满足且,则,故存在两个零点（）不妨设,由（）知,在上单调递减,所以等价于,即由于,而,所以设,则所以当时,而,故当时,从而,故考点：导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导
7、数研究函数的单调性或极值破解.2. 【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】（）的定义域为；.当，时，单调递增；，单调递减.当时，.（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（）由（）知，时，令，.则，所以在上存在使得 时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由
8、于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数.设.（1）求方程的根;（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。【答案】（1）0 4（2）1【解析】试题分析：（1）根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，即的最小值，最后根据基本不等式求最值（2）先分析导函数零点情况：唯一零点，再确定原函数单调变化趋势：先减后增，从而结合图像确定唯一零点必在极值点
9、取得，而，因此极值点必等于零，进而求出的值.本题难点在证明，这可利用反证法：若，则可寻找出一个区间，由结合零点存在定理可得函数存在另一零点，与题意矛盾，其中可取；若，同理可得.试题解析：（1）因为，所以.方程，即，亦即，所以，于是，解得.由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛
10、盾.因此，.于是，故，所以.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.4.【2016高考新课标3理数】设函数，其中，记的最大值为（）求；（）求；（）证明：【答案】（）；（）；（）见解析【解析】试题分析：（）直接可求；（）分两种情况，结合三角函数的有界性求出，但须注意
11、当时还须进一步分为两种情况求解；（）首先由（）得到，然后分，三种情况证明试题解析：（）（）当时，因此， 4分当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），（）当时，在内无极值点，所以（）当时，由，知又，所以综上，（）由（）得.当时，.当时，所以.当时，所以.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；（2）结合自变量的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解【2015年】1.【2015福建理10】若定义在上的函数满足，其导函数
12、满足，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D【答案】C【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，选项A,B无法判断，故选C【考点定位】函数与导数2.【2015高考福建，理20】已知函数，()证明：当；()证明：当时，存在,使得对()确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有【答案】()详见解析；()详见解析；()【解析】解法一：(1)令则有当,所以在上单调递减；故当时，即当时，(2)令则有当,所以在上单调递增,故对任意正实数均满足题意.当时，令得取对任意恒有,所以在上单
13、调递增,即.综上，当时，总存在,使得对任意的恒有(3)当时，由（1）知，对于故，令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有当，由（1）知，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.综上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）当时，由（1）知，对于，故，令，从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.当时，取由（2）知存在,使得.此时,令，此时,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（1）知，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意综上，.【考点定
14、位】导数的综合应用究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续3.【2015高考天津，理20】已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证：【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.【解析】(I)由，可得，其中且，下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时：令，解得或，当变化时，的变化情况如下表：所以，在，上单调递减，在内单调递增. (II)证明：设点的坐标为，则，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当
