微积分 经济管理 教学课件 ppt 作者 彭红军 张伟 李媛等编第二章 极限与连续 第5节 夹逼准则与两个重要极限

第五节 夹逼准则与两个重要极限,一、夹逼准则,二、两个重要极限,利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如,极限值各是多少？如何求解？,一、夹逼准则,(1) yn xn  zn, (n =1,2,3…)；,准则I 如果数列{xn}, {yn}, {zn}满足,则数列{xn}的极限存在, 且,,,对于函数, 也有类似的夹逼准则：,(或| x| M)时, 有,准则I 如果当,则有 f(x)  A (xx0或x),（1） g(x)  f(x)  h(x),(2) g (x) A, h(x)  A (xx0或x),,,准则I和准则I称为夹逼准则例1 求,解 因为,又,,,由夹逼准则得,二、两个重要极限,证,故只讨论x0+的情形.,如图, 在单位圆中,AOB = x, BD = sinx, AC=tanx,,因为 SAOB S扇形AOB SAOC ,,所以,由夹逼准则, 得,,,解,例3 求,例4 求,解,解: 令,则,因此,原式,例5. 求,例6. 求,解: 令,则,因此,原式,例7 求,解,例3—例7可以作为公式使用.,.,在使用公式,通过这些例子可以看到，,时，有三处必须一致，公式的,一般形式为,原式,例8. 求,例9. 求,解:,解:,原式,例10 求,解：,（2）,这是一个非常重要的极限.当,时，底数,指数,，称为,型极限.若令,，则,时，,，可以得到此极限的另一个等价形式,.,此极限我们不予证明，,从函数的图形中可以看出,此极限存在。

左右两侧附近计算出一些点的对应函数值,列表观察函数极限值我们在,从表中可以看出，当,时，,.可以证明这个极限是无理数，将其记作e，,.这样就有,或,例11 求,解,例12 求,解,例13 求,解,例14 求,解: 原式 =,,例15 求,解: 原式 =,,,例16 已知,求 c解: 原式 =,。